Στον βωμό της ακεραιότητας

KARKAR · #1

Για τους ακεραίους a , b , (a > b > 0 )

, από τους οποίους τουλάχιστον ό ένας δεν είναι τέλειο τετράγωνο και για : $n\in \mathbb{N} , n\geq 2$ ,

ορίζουμε τον αριθμό : $S=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^n+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^n$ . α) Δείξτε ότι για άρτιο

, ο αριθμός

είναι ακέραιος .

β) Βρείτε μια συνθήκη της οποίας η ισχύς καθιστά τον αριθμό

ακέραιο και στην περίπτωση που ο

είναι περιττός .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2024 9:26 am
Για τους ακεραίους , από τους οποίους τουλάχιστον ό ένας δεν είναι τέλειο τετράγωνο και για : $n\in \mathbb{N} , n\geq 2$ ,

ορίζουμε τον αριθμό : $S=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^n+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^n$ . α) Δείξτε ότι για άρτιο , ο αριθμός είναι ακέραιος .

β) Βρείτε μια συνθήκη της οποίας η ισχύς καθιστά τον αριθμό ακέραιο και στην περίπτωση που ο είναι περιττός .

Ας αρχίσουμε με κάτι ευκολότερο που όμως είναι χρήσιμο για τα παρακάτω: Θα δείξουμε ότι αν c,d

φυσικοί αριθμοί, τότε η παράσταση

$S=(c+\sqrt{d})^n+(c-\sqrt{d})^n \, (*)$ είναι ακέραιος αριθμός για οποιοδήποτε

.

Πράγματι, είναι απλό και γνωστό ότι ο πρώτος προσθετέος είναι άθροισμα αριθμών της μορφής $Mc^k(\sqrt d)^m$ , με

φυσικό, και ο δεύτερος προσθετέος είναι (για τα ίδια M,k,m

) της μορφής $Mc^k(-\sqrt d)^m$ . Δηλαδή, όλο μαζί το άθροισμα είναι όροι της μορφής $Mc^k(\sqrt d)^m +Mc^k(-\sqrt d)^m$ . Παρατηρούμε ότι οι προσθετέοι αυτοί είναι ακέραιοι διότι για

άρτιο εξαφανίζονται οι τετραγωνικές ρίζες ενώ για

περιττό, απλοποιούνται (άθροισμα μηδέν).

Πίσω στην αρχική άσκηση: Το προηγούμενο απαντά στο ερώτημα β) καθώς αν

τέλειο τετράγωνο, a=c^2

, τότε η δοθείσα είναι της μορφής (*)

.

Για το α). Aν

άρτιος,

, έχουμε

$S=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2N}+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2N}= (a+b+2\sqrt{ab})^{N}+(a+b-2\sqrt{ab})^{N}=(c+\sqrt{d})^{N}+(c-\sqrt{d})^{N}$ . Αυτό όμως είναι της μορφής (*)

, και άρα ακέραιος για κάθε

.

Στον βωμό της ακεραιότητας

Στον βωμό της ακεραιότητας

Re: Στον βωμό της ακεραιότητας

Μέλη σε σύνδεση