Κύκλος που εφάπτεται στον περίκυκλο τριγώνου

giannimani · #1

Το οξυγώνιο μη ισοσκελές τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Omega$ κέντρου

,
και

είναι το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Από το σημείο

φέρουμε ευθεία κάθετη
στην

που τέμνει τις πλευρές

,

στα σημεία

,

αντίστοιχα, και από το σημείο

ευθεία κάθετη στην

που τέμνει τις πλευρές

,

στα σημεία

,

αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία

,

ανήκουν στον ίδιο κύκλο, ο οποίος εφάπτεται του κύκλου $\Omega$ .

: tang_to_circumcircle.png (45.32 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

$\bullet$ Ισχύει $\angle BAH = \angle OAY$
Πράγματι, το συμμετρικό του

ως προς την ευθεία

, έστω $B^\prime$ , είναι σημείο του $\Omega$ οπότε έχουμε:
$\angle BAH = \angle ABB^\prime = \angle B^\prime CA = \angle OAY$

Εφαρμόζοντας αυτό προκύπτει άμεσα ότι $\angle XZT = \angle XYT$ οπότε XTYZ

εγγράψιμο.
Επίσης τα τρίγωνα $\triangle ABC$ , $\triangle AXY$ , $\triangle ATZ$ είναι όμοια

$\bullet$ Έστω $A^\prime$ το συμμετρικό του

ως προς την

. Το $A^\prime HTC$ είναι εγγράψιμο.
Πράγματι, $\angle HA^\prime C = \angle AA^\prime C = \angle ABC = \angle AXY = \angle ATZ = \angle ATH$

$\bullet$ Το $A^\prime$ βρίσκεται στον κύκλο των X,T,Y,Z

Πράγματι, $\angle XA^\prime T = \angle XA^\prime A + \angle HA^\prime T =\angle BCA^\prime +\angle HCT=(*)$
Επειδή το $A^\prime$ είναι το συμμετρικό του

ως προς την

έχουμε:
$(*)= \angle BCH +\angle HCT=\angle BCA = \angle XZT$

$\bullet$ Η εφαπτόμενη ευθεία $A^\prime F$ στον $\Omega$ στο σημείο $A^\prime$ εφάπτεται και στον $ZXTY A^\prime$ στο $A^\prime$
Πράγματι, $\angle FA^\prime A = \angle A^\prime CA$ $\Rightarrow \angle FA^\prime A - \angle XA^\prime A = \angle A^\prime CA - \angle A^\prime CB$ $\Rightarrow \angle FA^\prime X = \angle BCA = \angle XYA = \angle XYA^\prime$ οπότε έπεται το ζητούμενο $\blacksquare$

#3

giannimani έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2024 7:32 pm
Το οξυγώνιο μη ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Omega$ κέντρου ,
και είναι το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Από το σημείο φέρουμε ευθεία κάθετη
στην που τέμνει τις πλευρές , στα σημεία , αντίστοιχα, και από το σημείο
ευθεία κάθετη στην που τέμνει τις πλευρές , στα σημεία , αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία , , , ανήκουν στον ίδιο κύκλο, ο οποίος εφάπτεται του κύκλου $\Omega$ .
tang_to_circumcircle.png

Μια άποψη .
Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

και

το άλλο σημείο τομής του ύψους

, με το κύκλο του $\vartriangle ABC$ .

Επειδή διαδοχικά , $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ ( XY//BC

) , $\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,\,$ ( βαίνουν στο ίδιο τόξο ) και $\widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _4}}$ ( οξείες με πλευρές κάθετες)

Θα είναι : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _4}}$ , σχέση που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο ZXYT

είναι εγγράψιμο σε κύκλο .

Τώρα πολύ εύκολα έχω ότι και τα τετράπλευρα , $HZBD\,\,,\,\,ZBCT$ . είναι εγγράψιμα

: Κύκλος που εφάπτεται στον περίκυκλο τριγώνου.png (56.85 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

Το τετράπλευρο , AXDY

είναι χαρταετός , έτσι οι κύκλοι των ίσων τριγώνων , $AXY\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DXY$ θα είναι ίσοι .

Φέρνω από το

ευθεία ,

, παράλληλη στην

που προφανώς είναι εφαπτομένη του κύκλου $\Omega$

αλλά θα εφάπτεται και στον , $\left( {A,X,Y} \right)$ , δηλαδή στον κύκλο , $\left( {K,KA} \right)$ , με το

επί της $\overline {AOE}$ .

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την

τότε ο κύκλος $\left( {L,KA} \right)$ διέρχεται λόγω συμμετρίας από :

Τα , D,X,Y,T,Z

και θα εφάπτεται του $\Omega$ στο

.

Το δεύτερο ερώτημα αντιμετωπίζεται και με αντιστροφή του κύκλου , $\left( {Z,X,Y,T} \right)$ με πόλο το και δύναμη αντιστροφής

${\lambda ^2} = AT \cdot AY = AZ \cdot AX$

Κύκλος που εφάπτεται στον περίκυκλο τριγώνου

Κύκλος που εφάπτεται στον περίκυκλο τριγώνου

Re: Κύκλος που εφάπτεται στον περίκυκλο τριγώνου

Re: Κύκλος που εφάπτεται στον περίκυκλο τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση