Πονηρή ισότητα γωνιών

KARKAR · #1

: Πονηρή ισότητα γωνιών.png (8.7 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Εντοπίστε σημείο

του άξονα

, τέτοιο ώστε : $\widehat{ABS}=\widehat{ACS}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 07, 2024 7:24 am
Πονηρή ισότητα γωνιών.pngΕντοπίστε σημείο του άξονα , τέτοιο ώστε : $\widehat{ABS}=\widehat{ACS}$ .

Με τριγωνομετρία.

: ΠΙΓ.png (10.44 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

$\displaystyle A\widehat BO - S\widehat BO = \theta = A\widehat CO - S\widehat CO \Leftrightarrow \frac{{2 - \frac{y}{3}}}{{1 + \frac{{2y}}{3}}} = \tan \theta = \frac{{\frac{6}{5} - \frac{y}{5}}}{{1 + \frac{{6x}}{{25}}}},$ απ' όπου

$\displaystyle 2{y^2} - 17y + 30 = 0$ και $\boxed{S\left( {0,\frac{5}{2}} \right)}$ Υπάρχει βέβαια και η ακραία περίπτωση το

να ταυτίζεται με το

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 07, 2024 7:24 am
Πονηρή ισότητα γωνιών.pngΕντοπίστε σημείο του άξονα , τέτοιο ώστε : $\widehat{ABS}=\widehat{ACS}$ .

Προφανώς το

είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$

Οι συντεταγμένες του

προκύπτουν από ένα απλό σύστημα πρωτοβαθμίων εξισώσεων ( η μια είναι x = 0

)

: Πονηρή ισότητα γωνιών.png (27.71 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 07, 2024 7:24 am
Εντοπίστε σημείο του άξονα , τέτοιο ώστε : $\widehat{ABS}=\widehat{ACS}$ .

Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στα τρίγωνα ABS, ACS

έχουμε

$\dfrac {BA^2 + BS^2-AS^2}{2BA\cdot BS}= \cos \theta = \dfrac {CA^2 + CS^2-AS^2}{2CA\cdot CS}$ ή αλλιώς

$\dfrac {(6^2+3^2) + (s^2+3^2)-(6-s)^2}{2\sqrt {6^2+3^2} \sqrt {s^2+3^2}}= \dfrac {(6^2+5^2) + (s^2+5^2)-(6-s)^2}{2\sqrt {6^2+5^2} \sqrt {s^2+5^2}}$

που γράφεται $\dfrac {18+12s}{\sqrt {45} \sqrt {s^2+9}}= \dfrac {50+12s}{\sqrt {61} \sqrt {s^2+25}}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο θα βρούμε μια δευτεροβάθμια ως προς s^2

, από όπου εύκολα καταλήγουμε στις $s=\frac {5}{2}$ (δεκτή) και s=6

(απορρίπτεται).

Εdit. Όσο έγραφα, ο Νίκος έβαλε την απίθανη μονολεκτική λύση του. Πάει, μας έσκισε!

KARKAR · #5

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 07, 2024 8:54 am
Προφανώς το είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$

Νίκο , το "πονηρή" αναφέρεται σ'αυτό ακριβώς που γράφεις .

Το ορθόκεντρο είναι προφανώς μια λύση . Μήπως όμως δεν είναι προφανές ότι είναι η μοναδική ;

Πονηρή ισότητα γωνιών

Πονηρή ισότητα γωνιών

Re: Πονηρή ισότητα γωνιών

Re: Πονηρή ισότητα γωνιών

Re: Πονηρή ισότητα γωνιών

Re: Πονηρή ισότητα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση