Τραπέζιο

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (10.21 KiB) Προβλήθηκε 1554 φορές

Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ABCD

, του παραπάνω σχήματος, είναι τραπέζιο και να βρείτε τη μικρή του βάση.

Orestisss · #2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 04, 2024 9:58 am
shape.pngΝα δείξετε ότι το τετράπλευρο , του παραπάνω σχήματος, είναι τραπέζιο και να βρείτε τη μικρή του βάση.

Θα δείξω ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{ABC, ABD}$ είναι ισεμβαδικα, τότε τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{AB, CD}$
θα είναι παράλληλα, όποτε το τετράπλευρο θα είναι τραπεζιο. Πράγματι, απ’τον τύπο του Ηρωνα εχουμε:
$\displaystyle{(ABC)= \sqrt{t(t-a)(t-b)(t-c)}=\sqrt{20(20-11)(20-13)(20-16) = \sqrt{20 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 4}= \sqrt{5040}}$ τ.μ.
$\displaystyle{(ABD)= \sqrt{21(21-17)(21-16)(21-9)}= \sqrt{21 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 12}=\sqrt{5040}$ που είναι ίσα.
Τώρα, για την βάση $x

#3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 04, 2024 9:58 am
shape.pngΝα δείξετε ότι το τετράπλευρο , του παραπάνω σχήματος, είναι τραπέζιο και να βρείτε τη μικρή του βάση.

Από Ήρωνα , $\boxed{\left( {DAB} \right) = \left( {CAB} \right) = 12\sqrt {35} }$ , άρα το τετράπλευρο είναι τραπέζιο με ύψος , $\boxed{h = \frac{{3\sqrt {35} }}{2}}$ .

: Τραπέζιο_Nannos.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 1526 φορές

Οι προβολές των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ στην

είναι : $\boxed{LB = \sqrt {{{11}^2} - {h^2}} = \frac{{13}}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AK = \sqrt {{9^2} - {h^2}} = \frac{3}{2}}$

Οπότε $\boxed{KL = DC = 16 - \left( {\frac{{13}}{2} + \frac{3}{2}} \right) = 8}$

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 04, 2024 9:58 am
shape.pngΝα δείξετε ότι το τετράπλευρο , του παραπάνω σχήματος, είναι τραπέζιο και να βρείτε τη μικρή του βάση.

Παρατήρηση :

Το πρώτο χωρίς το Θ. του Ήρωνα :

Εφαρμόζω 2ο Θ. διαμέσων στα $\vartriangle CAB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DAB$ , Ας είναι

το μέσο του

και $K\,\,,\,\,\,L$ οι προβολές των $D\,\,,\,\,C$ σ αυτή.
.

: Τραπέζιο_Nannos_new_oritzin_a.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 1505 φορές

.
Προκύπτουν έτσι : $\boxed{AK = ML = \frac{3}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KM = LB = \frac{{13}}{2}}$ . Από Π. Θ. στα $\vartriangle KDA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle LBC$ προκύπτει , $\boxed{DK = CL = \frac{3}{2}\sqrt {35} }$ .

Εδώ επι της ουσίας έχουν απαντηθεί και τα δύο ερωτήματα

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 04, 2024 9:58 am
shape.pngΝα δείξετε ότι το τετράπλευρο , του παραπάνω σχήματος, είναι τραπέζιο και να βρείτε τη μικρή του βάση.

Mε θ.διαμέσου στο $\triangle ABC$ παίρνουμε CM=9

και με ν.συνημιτόνου στα $\triangle BAD,BMC$

παίρνουμε $cos \angle BAD=cos \angle BMC= \dfrac{1}{6} \Rightarrow \angle BAD= \angle BMC$

Έτσι, AMCD

παραλ/μμο με x=8

: Τραπέζιο.png (20.85 KiB) Προβλήθηκε 1491 φορές

#6

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 04, 2024 9:58 am
shape.pngΝα δείξετε ότι το τετράπλευρο , του παραπάνω σχήματος, είναι τραπέζιο και να βρείτε τη μικρή του βάση.

Αλλιώς για το δεύτερο ερώτημα με θεώρημα $\rm Euler$ στο τραπέζιο ABCD(M, N

μέσα διαγωνίων

: Τραπέζιο.ΜΝ.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 1431 φορές

$\displaystyle {x^2} + 81 + 256 + 121 = 169 + 289 + 4M{N^2} \Leftrightarrow x = 2MN \Leftrightarrow x = 2\frac{{16 - x}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=8}$

#7

Orestisss έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 04, 2024 10:33 am
$\displaystyle{(ABC)= ...\sqrt{20(20-11)(20-13)(20-16) = \sqrt{20 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 4}= \sqrt{5040}}$ τ.μ.
...
Τώρα, για την βάση

Ωραιότατα. Παρακαλώ όμως συμπλήρωσε τα (απλά) βήματα για να βρεις το

και κάνε την τυποτεχνική διόρθωση ώστε να είναι σωστά τοποθετημένη η παραπάνω τετραγωνική ρίζα.

Orestisss · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2024 9:18 am

Orestisss έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 04, 2024 10:33 am
$\displaystyle{(ABC)= ...\sqrt{20(20-11)(20-13)(20-16) = \sqrt{20 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 4}= \sqrt{5040}}$ τ.μ.
...
Τώρα, για την βάση
Ωραιότατα. Παρακαλώ όμως συμπλήρωσε τα (απλά) βήματα για να βρεις το και κάνε την τυποτεχνική διόρθωση ώστε να είναι σωστά τοποθετημένη η παραπάνω τετραγωνική ρίζα.

(Εστω Ο το σημείο τομης των διαγώνιων). Με ομοιότητα τριγώνων θα βρω τα μήκη των τμημάτων $\displaystyle{OC,OD}$ , και στην συνέχεια με συνθήκη ίσης η παραπληρωματικής γωνίας θα βρω κάποια σχέση για το εμβαδό του τριγώνου $\displaystyle{OCD}$ και τέλος, από τον τύπο εμβαδού του τραπεζιού θα προκύψει το μήκος της μικρής βάσης. Διαφορετικά θα έφερνα την διάμεσος του τραπεζιού ώστε να προκύψουν σχέσεις για το ημιαθροισμα και διαφορά των βάσεων, πράγμα το οποίο δε νομιζω να αποδειχτεί χρήσιμο, βέβαια απέρριψα αυτή την λυση καθώς δεν μπορω να κανω σχήμα.

#9

Orestisss έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2024 2:46 pm
(Εστω Ο το σημείο τομης των διαγώνιων). Με ομοιότητα τριγώνων θα βρω τα μήκη των τμημάτων $\displaystyle{OC,OD}$ , και στην συνέχεια με συνθήκη ίσης η παραπληρωματικής γωνίας θα βρω κάποια σχέση για το εμβαδό του τριγώνου $\displaystyle{OCD}$ και τέλος, από τον τύπο εμβαδού του τραπεζιού θα προκύψει το μήκος της μικρής βάσης.

Είσαι πάρα πολύ ασαφής. Πρώτα απ' όλα τα μήκη των τμημάτων εξαρτώνται (σε αυτή την φάση της λύσης σου) από το

. Όμως για να κάνεις χρήση αυτών που βρήκες εξισώνοντας με το εμβαδόν, πρέπει να ξέρεις την τιμή του, που δεν την ξέρεις.

Θα σου συνιστούσα να γράψεις με απόλυτη ακρίβεια τις σκέψεις σου. Μισές λύσεις στα Μαθηματικά είναι μικρής αξίας. Ευκαιρία να διδαχθείς κάτι που θα σε ωφελήσει ως προς τα Μαθηματικά.

Θα χαρούμε να δούμε την πλήρη λύση σου.

Αν θέλεις βοήθεια, ευχαρίστως θα σου δώσουμε.

Orestisss · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2024 3:41 pm

Orestisss έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2024 2:46 pm
(Εστω Ο το σημείο τομης των διαγώνιων). Με ομοιότητα τριγώνων θα βρω τα μήκη των τμημάτων $\displaystyle{OC,OD}$ , και στην συνέχεια με συνθήκη ίσης η παραπληρωματικής γωνίας θα βρω κάποια σχέση για το εμβαδό του τριγώνου $\displaystyle{OCD}$ και τέλος, από τον τύπο εμβαδού του τραπεζιού θα προκύψει το μήκος της μικρής βάσης.

Είσαι πάρα πολύ ασαφής. Πρώτα απ' όλα τα μήκη των τμημάτων εξαρτώνται (σε αυτή την φάση της λύσης σου) από το . Όμως για να κάνεις χρήση αυτών που βρήκες εξισώνοντας με το εμβαδόν, πρέπει να ξέρεις την τιμή του, που δεν την ξέρεις.

Θα σου συνιστούσα να γράψεις με απόλυτη ακρίβεια τις σκέψεις σου. Μισές λύσεις στα Μαθηματικά είναι μικρής αξίας. Ευκαιρία να διδαχθείς κάτι που θα σε ωφελήσει ως προς τα Μαθηματικά.

Θα χαρούμε να δούμε την πλήρη λύση σου.

Αν θέλεις βοήθεια, ευχαρίστως θα σου δώσουμε.

Ορίστε μια λυση απτην αρχή. Όπως ανέφερα, $\displaystyle{(ABC)=(ABD) \Rightarrow AB//DC}$ επομένως το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Φέρω το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα $\displaystyle{E,Z}$ των διαγώνιων $\displaystyle{AC,BD}$ αντίστοιχα, και το προεκτεινω ώστε να τέμνει το $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{K}$ . Στο τρίγωνο
$\displaystyle{ABC}$ , το $\displaystyle{EK}$ ενώνει τα μέσα των δυο του πλευρών αρα επεται ότι $\displaystyle{EK= \frac{AB}{2} \Rightarrow EK=8}$ .
Τώρα ενώνω τα σημεία $\displaystyle{D,E}$ και δημιουργείται το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{EKCD}$ απτό οποίο προκύπτει ότι $\displaystyle{x=8}$ αφού $\displaystyle{EK=8}$

#11

Orestisss έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2024 6:37 pm

Ορίστε μια λυση απτην αρχή. Όπως ανέφερα, $\displaystyle{(ABC)=(ABD) \Rightarrow AB//DC}$ επομένως το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Φέρω το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα $\displaystyle{E,Z}$ των διαγώνιων $\displaystyle{AC,BD}$ αντίστοιχα, και το προεκτεινω ώστε να τέμνει το $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{K}$ . Στο τρίγωνο
$\displaystyle{ABC}$ , το $\displaystyle{EK}$ ενώνει τα μέσα των δυο του πλευρών αρα επεται ότι $\displaystyle{EK= \frac{AB}{2} \Rightarrow EK=8}$ .
Τώρα ενώνω τα σημεία $\displaystyle{D,E}$ και δημιουργείται το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{EKCD}$ απτό οποίο προκύπτει ότι $\displaystyle{x=8}$ αφού $\displaystyle{EK=8}$

Εκτός από το γεγονός ότι πρέπει να δικαιολογήσεις ότι η

είναι παράλληλη της

. Υπόψη ότι γενικά δεν ισχύει, αλλά το ερώτημα είναι γιατί ισχύει στο συγκεκριμένο τραπέζιο. Μπορείς να συμπληρώσεις το κενό;

Orestisss · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2024 8:14 pm

Orestisss έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 05, 2024 6:37 pm

Ορίστε μια λυση απτην αρχή. Όπως ανέφερα, $\displaystyle{(ABC)=(ABD) \Rightarrow AB//DC}$ επομένως το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Φέρω το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα $\displaystyle{E,Z}$ των διαγώνιων $\displaystyle{AC,BD}$ αντίστοιχα, και το προεκτεινω ώστε να τέμνει το $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{K}$ . Στο τρίγωνο
$\displaystyle{ABC}$ , το $\displaystyle{EK}$ ενώνει τα μέσα των δυο του πλευρών αρα επεται ότι $\displaystyle{EK= \frac{AB}{2} \Rightarrow EK=8}$ .
Τώρα ενώνω τα σημεία $\displaystyle{D,E}$ και δημιουργείται το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{EKCD}$ απτό οποίο προκύπτει ότι $\displaystyle{x=8}$ αφού $\displaystyle{EK=8}$
Εκτός από το γεγονός ότι πρέπει να δικαιολογήσεις ότι η είναι παράλληλη της . Υπόψη ότι γενικά δεν ισχύει, αλλά το ερώτημα είναι γιατί ισχύει στο συγκεκριμένο τραπέζιο. Μπορείς να συμπληρώσεις το κενό;

Αλλάζω την λυση. Στο τριγωνο $\displaystyle{ADB}$ , φερω τη διαμεσο από την κορυφή $\displaystyle{D}$ που τέμνει την $\displaystyle{AB}$ στο μέσο $\displaystyle{M}$ . Τώρα επειδή $\displaystyle{DM}$ διάμεσος τα δυο τρίγωνα $\displaystyle{ADM,DMB}$ τα τρίγωνα θα είναι ισεμβαδικα με εμβαδό $\displaystyle{6\sqrt{35}}$ . Από τον τυπο του Ηρωνα προκύπτει ότι $\displaystyle{DM=11}$ ή $\displaystyle{DM \approx 24.1}$ . Όμως, από τριγωνική ανισότητα στα $\displaystyle{ADM}$ και $\displaystyle{DMB}$ υποχρεωτικά πρέπει $\displaystyle{DM=11}$ , που συνεπαγεται ότι $\displaystyle{DM=BC}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{DMBC}$ παραλληλογραμμο $\Rightarrow$ $\displaystyle{x=MB=8}$

#13

Orestisss έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 2:37 pm
... που συνεπαγεται ότι $\displaystyle{DM=BC}$ ${\color {red} \Rightarrow }$ $\displaystyle {\color {red} {DMBC}}$ παραλληλογραμμο

Προσοχή σε αυτό το βήμα. Από το γεγονός ότι δύο απέναντι πλευρές του DMBC

είναι ίσες, δεν μπορείς να συμπεράνεις ότι είναι παραλληλόγραμμο αν δεν αποδείξεις πρώτα ότι είναι παράλληλες. Έκανες το ίδιο σφάλμα στην πρώτη σου λύση.

Κοίταξέ το νηφάλια και θα χαρούμε να δούμε την λύση σου.

Orestisss · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 2:56 pm

Orestisss έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 2:37 pm
... που συνεπαγεται ότι $\displaystyle{DM=BC}$ ${\color {red} \Rightarrow }$ $\displaystyle {\color {red} {DMBC}}$ παραλληλογραμμο
Προσοχή σε αυτό το βήμα. Από το γεγονός ότι δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες, δεν μπορείς να συμπεράνεις ότι είναι παραλληλόγραμμο αν δεν αποδείξεις πρώτα ότι είναι παράλληλες. Έκανες το ίδιο σφάλμα στην πρώτη σου λύση.

Κοίταξέ το νηφάλια και θα χαρούμε να δούμε την λύση σου.

Τελευταία προσπάθεια. Φερω ευθεία από το $\displaystyle{A}$
παράλληλη στο $\displaystyle{BC}$ και προεκτεινω την $\displaystyle{CD}$ ώστε να τέμνει την ευθεία στο $\displaystyle{K}$ . Επομένως $\displaystyle{ABCK}$ παραλληλόγραμμο και αφού $\displaystyle{DM}$ διάμεσος προκύπτει $\displaystyle{\frac{KC}{2}=\frac{AB}{2} \Rightarrow x=8}$

#15

Orestisss έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 3:43 pm

Τελευταία προσπάθεια. Φερω ευθεία από το $\displaystyle{A}$
παράλληλη στο $\displaystyle{BC}$ και προεκτεινω την $\displaystyle{CD}$ ώστε να τέμνει την ευθεία στο $\displaystyle{K}$ . Επομένως $\displaystyle{ABCK}$ παραλληλόγραμμο και αφού $\displaystyle { {\color {red}{DM}}$ διάμεσος προκύπτει $\displaystyle{\frac{KC}{2}=\frac{AB}{2} \Rightarrow x=8}$

.
Δυστυχώς και πάλι έχουμε πρόβλημα: Από που γνωρίζεις ότι το

είναι το μέσον της

; Ο ισχυρισμός αυτός θέλει αιτιολόγηση.

Εύγε που ασχολείσαι με τα Μαθηματικά, αλλά θα σου συνιστούσα να μελατάς περισσότερο τις λύσεις σου για να βλέπεις με περισσότερη προσοχή αν τα βήματα που χρησιμοποιείς είναι όλα αιτιολογημένα.

Orestisss · #16

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 4:04 pm

Orestisss έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 3:43 pm

Τελευταία προσπάθεια. Φερω ευθεία από το $\displaystyle{A}$
παράλληλη στο $\displaystyle{BC}$ και προεκτεινω την $\displaystyle{CD}$ ώστε να τέμνει την ευθεία στο $\displaystyle{K}$ . Επομένως $\displaystyle{ABCK}$ παραλληλόγραμμο και αφού $\displaystyle { {\color {red}{DM}}$ διάμεσος προκύπτει $\displaystyle{\frac{KC}{2}=\frac{AB}{2} \Rightarrow x=8}$
.
Δυστυχώς και πάλι έχουμε πρόβλημα: Από που γνωρίζεις ότι το είναι το μέσον της ; Ο ισχυρισμός αυτός θέλει αιτιολόγηση.

Εύγε που ασχολείσαι με τα Μαθηματικά, αλλά θα σου συνιστούσα να μελατάς περισσότερο τις λύσεις σου για να βλέπεις με περισσότερη προσοχή αν τα βήματα που χρησιμοποιείς είναι όλα αιτιολογημένα.

Ευχαριστω κι Συγγνωμη για την ταλαιπωρία.

#17

Orestisss έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2024 4:08 pm
Ευχαριστω κι Συγγνωμη για την ταλαιπωρία.

Κανένα πρόβλημα. Ίσα ίσα χαιρόμαστε που το mathematica γίνεται ένα εφαλτήριο να βελτιώσεις τα Μαθηματικά σου. Από την εμπειρία που έχω και από τις λύσεις σου, βλέπω ότι έχεις αρκετές γνώσεις Μαθηματικών. Χρειάζονται βέβαια κάποια τακτοποίηση αλλά σίγουρα πολλή εύκολα μπορείς να τις απογειώσεις.

Τραπέζιο

Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Re: Τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση