ΑΛΛΟΣ ΕΝΑΣ ΚΑΛΟΣ (;) ΓΕΩΜΕΤΕΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ.

S.E.Louridas · #1

Δίδεται στον χώρο ευθύγραμμο τμήμα και γωνία $\theta.$

Σημείο κινείται στον χώρο, ώστε $\angle BAC=\theta.$ Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων κατά τη στιγμή που η παράσταση

παίρνει την μέγιστη τιμή της, όπου είναι μέτρα δοθέντων μη μηδενικών ευθύγραμμων τμημάτων.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω

,

και $\omega=\angle ABC$
Θέτουμε επίσης $\mathcal{L}=mc+nb$

Έστω χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι $m\le n$

Διαλέγουμε ένα επίπεδο στο οποίο κείται η ευθεία

Κατ' αρχάς το

όταν βρίσκεται στο επιλεγμένο επίπεδο,
θα είναι σημείο δυο τόξων κύκλων που είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία

Αρκεί να θεωρήσουμε ένα από αυτά τα τόξα, έστω το

, ενώ

ας είναι η ακτίνα του.
Θα εντοπίσουμε τα σημεία $A\in S$ που μεγιστοποιούν την παράσταση m c+n b

Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος θα είναι οι τροχιές των μεγιστοποιούντων την παράσταση σημείων

σε μια πλήρη περιστροφή τους με άξονα την ευθεία

Από το νόμο των ημιτόνων έχουμε $b=2R\sin\omega$ και $c=2R\sin(\omega+\theta)$
οπότε τα b,c

είναι συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις του $\omega$

και το αυτό θα ισχύει για την $\mathcal{L}(\omega)=2R(m\sin(\omega+\theta)+n\sin\omega)$
με $\mathcal{L}^\prime(\omega)=2R(m\cos(\omega+\theta)+n\cos\omega)$

Είναι $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta$ οπότε με $\dfrac{d}{d\omega}$

$0=2bb^\prime+2cc^\prime-2b^\prime c\cos\theta-2bc^\prime \cos\theta$
$\Rightarrow (b-c\cos\theta)b^\prime=(b\cos\theta-c)c^\prime$ (1)

Επίσης έχουμε
$\mathcal{L}^\prime(\omega)=0$ $\Rightarrow mc^\prime+nb^\prime=0$ (2)

Παρατηρούμε ότι για καμιά τιμή του $\omega$ δεν ισχύει $b^\prime=c^\prime=0$
γιατί σε αυτή την περίπτωση θα βρίσκαμε $\sin\omega=\cos\omega=0$

Από το σύστημα των (1,2) $\mathcal{L}^\prime(\omega)=0$ $\Rightarrow \begin{vmatrix} b-c \cos \theta & b \cos \theta - c \\ n & -m \end{vmatrix}=0$

$\Rightarrow \dfrac{c}{b}=\dfrac{m+n\cdot \cos\theta}{n+m\cdot \cos\theta}$ $= \dfrac{n}{m} \cdot \dfrac{ \frac{m}{n} + \cos\theta }{\frac{n}{m} + \cos\theta}$ $\color{magenta}(*)$

$\lim\limits_{\omega\to0}\mathcal{L}(\omega)=ma$
$\lim\limits_{\omega\to\pi-\theta}\mathcal{L}(\omega)=na$

$\lim\limits_{\omega\to0^+}\mathcal{L}^\prime(\omega)=2R(m\cos\theta+n)$ (3)
$\lim\limits_{\omega\to\pi-\theta}\mathcal{L}^\prime(\omega)=-2R(m+n\cos\theta)$ (4)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

$\bullet$ Αν η $\mathcal{L}^\prime$ έχει ένα σημείο μηδενισμού, αυτό θα είναι μοναδικό
επειδή $\color{magenta}\dfrac{c}{b}=\cos\theta+\cot\omega\sin\theta$

$\bullet$ Η $\mathcal{L}^\prime$ έχει ένα σημείο μηδενισμού αν και μόνο αν $\cos\theta>-\frac{m}{n}$

$\bullet$ Αν η $\mathcal{L}^\prime$ δεν έχει σημείο μηδενισμού τότε η $\mathcal{L}$ είναι γνησίως μονότονη συνάρτηση του $\omega$ οπότε δεν έχει μέγιστο,
αλλά supremum το οποίο θα είναι ίσο με $\max\{m,n\}\cdot a =na$
Η οριακή θέση του

για την επίτευξη του supremum είναι το σημείο

$\bullet$ Αν η $\mathcal{L}^\prime$ έχει σημείο μηδενισμού $\omega_o$ (το οποίο είναι μοναδικό) τότε $\cos\theta>-\frac{m}{n}$ οπότε από τις (3,4) έπεται ότι η $\mathcal{L}$ αλλάζει μονοτονία στο $\omega_o$ και παρουσιάζει σε αυτό το σημείο ολικό μέγιστο. Έτσι προσδιορίζεται μια μοναδική θέση για το

και ο ζητούμενος τόπος ειναι ο κύκλος που διέρχεται από το

, περιέχεται στο επίπεδο $\Pi_o$ με $A\in\Pi_o\perp BC$ και έχει κέντρο το σημείο τομής $BC\cap \Pi_o$

$\bullet$ Μπορούμε να περιγράψουμε τον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο και ως εξής: η $\color{magenta}(*)$ για $\cos\theta>-\frac{m}{n}$ ορίζει μια Απολλώνια σφαίρα. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι τομή αυτής της σφαίρας με την επιφάνεια εκ περιστροφής που ορίζει το άνωθι τόξο

κατά την περιστροφή του με άξονα την ευθεία

S.E.Louridas · #3

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 23, 2024 3:42 pm
Δίδεται στον χώρο ευθύγραμμο τμήμα και γωνία $\theta.$ Σημείο κινείται στον χώρο, ώστε $\angle BAC=\theta.$ Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων κατά τη στιγμή που η παράσταση παίρνει την μέγιστη τιμή της, όπου είναι μέτρα δοθέντων μη μηδενικών ευθύγραμμων τμημάτων.

Θα ήθελα καταρχήν κύρια αλλά και καταρχάς να εκφράσω τον κορυφαίο και ειλικρινή θαυμασμό μου για την επίλυση του Ιάσωνα και σίγουρα για τον ίδιο τον Ιάσωνα.

Θα επανέλθω (προφανώς) για να αναφερθώ στα σημεία της ημέτερης Ευκλείδειας Διαπραγμάτευσης.
Το θέμα αυτό το δημιούργησα, με σκοπό να είναι εκ των θεμάτων που θα το παρουσιάσω στο επερχόμενο συνέδριο, για τις λεπτομέρειες της κίνησης του νου, μέσω της Ανάλυσης, ώστε να ακολουθήσει η Σύνθεση, η Απόδειξη και τέλος η διερεύνηση.
Θα ήθελα να μου επιτρέψει ο Ιάσωνας να κάνω πλήρη αναφορά στην λύση του (προφανώς για την πατρότητα της με το ονοματεπώνυμο του), για να αναδείξω έτσι την απόλυτη συνεργασία μεταξύ της κλασικής Γεωμετρικής σκέψης με την σκέψη από την Κλασική Ανάλυση και τελικά να πιστοποιηθεί ότι η σκέψη για τις επιλύσεις σε βάθος είναι η Μοναδική Μαθηματική Σκέψη που εφαρμόζεται ισομερώς στις Μαθηματικές θεωρίες.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #4

Κύριε Λουρίδα σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια.
Η εκτίμηση είναι αμοιβαία!
Αξιοποιήστε την παραπάνω λύση κατά την κρίση σας

ΑΛΛΟΣ ΕΝΑΣ ΚΑΛΟΣ (;) ΓΕΩΜΕΤΕΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ.

ΑΛΛΟΣ ΕΝΑΣ ΚΑΛΟΣ (;) ΓΕΩΜΕΤΕΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ.

Re: ΑΛΛΟΣ ΕΝΑΣ ΚΑΛΟΣ (;) ΓΕΩΜΕΤΕΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ.

Re: ΑΛΛΟΣ ΕΝΑΣ ΚΑΛΟΣ (;) ΓΕΩΜΕΤΕΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ.

Re: ΑΛΛΟΣ ΕΝΑΣ ΚΑΛΟΣ (;) ΓΕΩΜΕΤΕΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ.

Μέλη σε σύνδεση