Ημικυκλιακό τμήμα

KARKAR · #1

: Ημικυκλιακό τμήμα.png (9.27 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

Σημείο

κινείται στην βάση

τριγώνου

. ( Στο παράδειγμα είναι : a=9 , b=7 , c=5)

.

Οι κύκλοι διαμέτρων

και

τέμνουν τις πλευρές AB , AC

στα σημεία

και

αντίστοιχα .

Α) Υπολογίστε το ελάχιστο του

. Β) ( προς έρευνα ) Για ποια θέση του

, προκύπτει : $DE \parallel BC$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2024 5:32 pm
Ημικυκλιακό τμήμα.pngΣημείο κινείται στην βάση τριγώνου . ( Στο παράδειγμα είναι : .

Οι κύκλοι διαμέτρων και τέμνουν τις πλευρές στα σημεία και αντίστοιχα .

Α) Υπολογίστε το ελάχιστο του . Β) ( προς έρευνα ) Για ποια θέση του , προκύπτει : $DE \parallel BC$ ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Θεωρούμε ότι το

είναι εσωτερικό σημείο της πλευράς

Ερώτημα A)

Όντας υποψιασμένοι από την (κεκρυμμένη) απάντηση του κυρίου Βισβίκη έχουμε:

$=\dfrac{DE\cdot AS}{AS}$ =(*)

Θέτουμε $\hat{A}_1=\angle BAS$ και $\hat{A}_2=\angle SAC$
και κατόπιν εφαρμόζουμε στον αριθμητή το πρώτο θέωρημα του Πτολεμαίου ( AESD

εγγράψιμο)
$(*) = \dfrac{ AD \cdot ES+AE \cdot DS}{AS}$ $=AS\cdot(\cos \hat{A}_1 \sin \hat{A}_2+\cos \hat{A}_2 \sin \hat{A}_1)$
$=AS\cdot \sin (\hat{A}_1+\hat{A}_2)$ $\ge \upsilon \cdot \sin \hat{A}$

όπου $\upsilon$ το ελάχιστο μέτρο της cevian

$\bullet$ όταν $\hat{B}$ , $\hat{C}$ οξείες, το $\upsilon$ είναι το ύψος του $\triangle ABC$ από το

(όπως στην απάντηση του κυρίου Βισβίκη)
$\bullet$ όταν $\hat{B}$ αμβλεία το $\upsilon$ δεν έχει ελάχιστη τιμή αλλά infimum, την πλευρά AB=c

$\bullet$ ομοίως όταν $\hat{C}$ αμβλεία το $\upsilon$ έχει infimum, την πλευρά AC=c

Ερώτημα B)

Αναγκαία συνθήκη για την παραλληλία $DE \parallel BC$
είναι τα D,E

να βρίσκονται στην ίδια μεριά της ευθείας

οπότε αυτό αποκλείει το ενδεχόμενο οι γωνίες $\hat{B},\hat{C}$ του τριγώνου να είναι αμβλείες.

Ορθές επίσης δεν γίνεται να είναι γιατί όταν π.χ. η $\hat{B}$ είναι ορθή (οπότε $\hat{C}$ οξεία)
τότε D=B

ενώ $E\notin BC$ οπότε $DE\ne BC$ και έχουν κοινό σημείο το D=B

οπότε είναι τεμνόμενες και συνεπώς όχι παράλληλες.

Θεωρώντας λοιπόν ότι οι $\hat{B},\hat{C}$ είναι οξείες, θα έχουμε:

$DE \parallel BC$ $\Leftrightarrow \dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{EC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{BS\cdot \cos \hat{B}}=\dfrac{AC}{CS\cdot \cos\hat{C}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{CS}{BS}=\dfrac{b \cdot \cos \hat{B}}{c\cdot \cos\hat{C}}$

και από το νόμο των συνημιτόνων βρίσκουμε τη μοναδική δυνατή τιμή του λόγου $\dfrac{CS}{BS}$
για την οποία επιτυγχάνεται η ζητούμενη παραλληλία:

$\dfrac{CS}{BS}=\dfrac{b^2}{c^2}\cdot\dfrac{a^2+c^2-b^2}{a^2+b^2-c^2}$

Επειδή οι $\hat{B}, \hat{C}$ είναι οξείες το δεξί μέλος της τελευταίας είναι θετικό

Ο λόγος $\dfrac{CS}{BS}$ για $S\in BC^o$ μπορεί να λάβει οποιαδήποτε θετική τιμή
οπότε λαμβάνοντας τιμή ίση με το δεξί μέλος της τελευταίας ισότητας
λαμβάνουμε τη μοναδική θέση του

για την οποία επιτυγχάνεται η ζητούμενη παραλληλία $\blacksquare$

S.E.Louridas · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2024 5:32 pm
Σημείο κινείται στην βάση τριγώνου . ( Στο παράδειγμα είναι : . Οι κύκλοι διαμέτρων και τέμνουν τις πλευρές στα σημεία και αντίστοιχα .
Α) Υπολογίστε το ελάχιστο του . Β) ( προς έρευνα ) Για ποια θέση του , προκύπτει : $DE \parallel BC$ ;

A) Το κέντρο του κύκλου που ορίζεται από τα σημεία A,D,S,E

είναι το μέσο

του

Επειδή $\angle BAC$ είναι σταθερή το ισοσκελές τρίγωνο ODE

διατηρεί τις γωνίες του, άρα το

γίνεται ελάχιστο,

όταν η διάμετρος

γίνει ελάχιστη και αυτό επιτυγχάνεται όταν $AS \bot BC.$

B) Η ευθεία

γίνεται παράλληλη στην πλευρά BC,

όταν $\angle BAS = \angle DES = \angle CSE = \frac{\pi }{2} - \angle ACB.$

KARKAR · #5

: Ημικυκλιακό τμήμα.png (14.32 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Η εγγραψιμότητα του ABCD

, καθιστά το μη υπολογιστικό μέρος της άσκησης σχετικά απλό .

Άξια θαυμασμού είναι , πάντως , η υπολογιστική προσέγγιση του Ιάσονα , ( ενδεχομένως και του Γιώργου

) .

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2024 5:32 pm
Ημικυκλιακό τμήμα.pngΣημείο κινείται στην βάση τριγώνου . ( Στο παράδειγμα είναι : .

Οι κύκλοι διαμέτρων και τέμνουν τις πλευρές στα σημεία και αντίστοιχα .

Α) Υπολογίστε το ελάχιστο του . Β) ( προς έρευνα ) Για ποια θέση του , προκύπτει : $DE \parallel BC$ ;

Για το Α) Αποδεικνύω όπως ο Σωτήρης ότι το ελάχιστο επιτυγχάνεται όταν το AS=h

είναι το ύψος. Πάμε τώρα στο υπολογιστικό κομμάτι.

: Ημικυκλιακό τμήμα.png (14.27 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

$\displaystyle cAD = {h^2} \Leftrightarrow AD = \frac{{{h^2}}}{c}$ και από τα όμοια τρίγωνα ADE, ABC

είναι $\boxed{D{E_{\min }} = \frac{{a{h^2}}}{{bc}}}$

S.E.Louridas · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2024 5:32 pm
... Β) ( προς έρευνα ) Για ποια θέση του , προκύπτει : $DE \parallel BC$ ;

Επειδή εδώ ζητείται η ακριβής θέση του

με βάση και την άποψη

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 12, 2024 12:12 am
Η ευθεία γίνεται παράλληλη στην πλευρά όταν $\angle BAS = \angle DES = \angle CSE = \frac{\pi }{2} - \angle ACB.$

,
είναι εκείνη που βλέπουμε στο σχήμα που ακολουθεί.

: karkar.png (25.89 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

(*) Παρεμπιπτόντως στην περίπτωση που $DE\parallel BC,$ επιλύοντας το σύστημα:

$\Sigma :\left\{ {bSE + cSD = 2\left( {ABC} \right)\;\;\kappa \alpha \iota \;\;{h_c}SE + {h_b}SD = {h_b}{h_c}} \right\},$

υπολογίζουμε τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα SD, SE

με βάση τα στοιχεία του τριγώνου ABC,

ως επίσης και το μήκος του

(πχ με βάση τον νόμο του συνημιτόνου στο τρίγωνο SED

).

Ημικυκλιακό τμήμα

Ημικυκλιακό τμήμα

Re: Ημικυκλιακό τμήμα

Re: Ημικυκλιακό τμήμα

Re: Ημικυκλιακό τμήμα

Re: Ημικυκλιακό τμήμα

Re: Ημικυκλιακό τμήμα

Re: Ημικυκλιακό τμήμα

Μέλη σε σύνδεση