Περιορισμένη αύξηση

KARKAR · #1

: Περιορισμένη αύξηση.png (6.24 KiB) Προβλήθηκε 1655 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται στην ευθεία y=x

, στο πρώτο τεταρτημόριο . Ενδιαφερόμαστε για την διαφορά : SA-SB

.

α) Για ποια θέση του

, είναι : SA-SB=4

; ... β) Για ποια a>0

, έχει λύση η εξίσωση : SA-SB=a

;

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω ένα σημείο $S\in \{y=x\}$ για το οποίο ισχύει SA-SB=2a>0

(αντί για

έχω

)
Κατ' αρχάς από την τριγωνική ανισότητα $SA-SB\le AB=8$ οπότε $a\le4$

Το "ίσον" θα ισχύει όταν τα A,B,S

είναι συνευθειακά
οπότε το

λαμβάνεται ως τομή των ευθειών $AB, \{y=x\}$ οπότε S=(0,0)

Αν

το

μπορεί να περιγραφεί ως το σημείο τομής της y=x

με τον "δεξιό" κλάδο της υπερβολής

με εστίες τα A,B

και παραμέτρους $a,b=\sqrt{16-a^2},c=4$
η οποία έχει εξίσωση $h\colon\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{16-a^2}=1$

Οι συντεταγμένες του

θα περιγράφονται από το σύστημα $\{h, y=x, x\ge a\}$
οπότε $x_S^2=a^2\cdot\dfrac{a^2-16}{2a^2-16}$
Επειδή x_S^2>0

βρίσκουμε την αναγκαία συνθήκη $a^2\notin [8,16)$ οπότε $0<2a<4\sqrt{2}$

$\bullet$ Ειδικά για 2a=4

βρίσκουμε $y_S=x_S=\sqrt{6}$ $\blacksquare$

Σημείωση: Θα μπορούσε κανείς να πει ότι οι ζητούμενες τιμές του

είναι εκείνες για τις οποίες οι ασύμπτωτες της υπερβολής δεν βρίσκονται
"κάτω από" την $\{y=x\}$ για να μπορεί η τελευταία να τέμνεται από την

Τοιουτοτρόπως λαμβάνουμε $\dfrac{b}{a}>1$ $\Leftrightarrow 16-a^2>a^2$
οπότε καταλήγουμε στο παραπάνω αποτέλεσμα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 06, 2024 10:57 am
Περιορισμένη αύξηση.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην ευθεία , στο πρώτο τεταρτημόριο . Ενδιαφερόμαστε για την διαφορά : .

α) Για ποια θέση του , είναι : ; ... β) Για ποια , έχει λύση η εξίσωση : ;

Για το α). Έστω S(x,x).

$SA - SB = \dfrac{{S{A^2} - S{B^2}}}{{SA + SB}} = \dfrac{{16x}}{{\sqrt {{{(x + 4)}^2} + {x^2}} + \sqrt {{{(x - 4)}^2} + {x^2}} }} = 4,$

απ' όπου παίρνω $x=\sqrt 6,$ οπότε $\boxed{S(\sqrt 6, \sqrt 6)}$

Περιορισμένη αύξηση

Περιορισμένη αύξηση

Re: Περιορισμένη αύξηση

Re: Περιορισμένη αύξηση

Μέλη σε σύνδεση