ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση 2α(53).

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

2α(53). Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο κυρτό εξάπλευρο
με συντρέχουσες διαγώνιες (κύριες) και του οποίου πχ η διαγώνιος περνά από την τομή των δύο πλευρών του , έχει αρμονικά τα δύο τετράπλευρα
και και αντίστροφα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δύο δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

(Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα).

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.

[ΝΙΚΟΣ]

Αποδείξεις της Πρόταση 2α(53).

Αγαπητοί φίλοι,

Με τον παρακάτω σύνδεσμο, συνημμένο 78 σελίδα 11 αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Πρότασης αυτής:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 1&start=40

Ή
Δύο αποδείξεις μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τα βήματα:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2
Σελίδα 72
Πρόταση 2 α(53),

Ή
Μία απόδειξη μου θα βρείτε, αν γράψετε: Αρμονική Γεωμετρία, κλίκ στο [PDF] Αρμονική Γεωμετρία – mathematica.gt
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τα βήματα:
Σελίδα 247
Κριτήριο 51.

Ή
Μία απόδειξη μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τα βήματα:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Αρμονική Γεωμετρία
Κλικ στο εδώ για να το κατεβάσετε Σελίδα 247
Κριτήριο 51.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση 16.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη την παρακάτω Πρόταση:
«Τα σημεία Fermat ή Steiner, Μεγ. Ναπολέοντος και Περίκεντρο, κάθε τριγώνου, είναι συνευθειακά».

Την Πρόταση αυτή χωρίς απόδειξη, συνάντησα κατά το παρελθόν στη σελίδα 171 του βιβλίου «Η Διδακτική της Ευκλ. Γεωμετρίας» των Γιαν. Θωμαίδη - Ανδρ. Πούλου, όπου αναφέρεται ότι είχε ανακαλυφθεί με τη βοήθεια Η.Υ. Τότε είχα επιτύχει μια απόδειξή της, την οποία και θα αναρτήσω, σε εύλογο χρονικό διάστημα. Η απόδειξη αυτή πιστεύω ότι είναι η πρώτη δημοσιευθείσα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 12&t=10191
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.

[Mihalis_Lambrou]

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη την παρακάτω Πρόταση:
«Τα σημεία Fermat ή Steiner, Μεγ. Ναπολέοντος και Περίκεντρο, κάθε τριγώνου, είναι συνευθειακά».

Την Πρόταση αυτή χωρίς απόδειξη, συνάντησα κατά το παρελθόν στη σελίδα 171 του βιβλίου «Η Διδακτική της Ευκλ. Γεωμετρίας» των Γιαν. Θωμαίδη - Ανδρ. Πούλου, όπου αναφέρεται ότι είχε ανακαλυφθεί με τη βοήθεια Η.Υ. Τότε είχα επιτύχει μια απόδειξή της, την οποία και θα αναρτήσω, σε εύλογο χρονικό διάστημα. Η απόδειξη αυτή πιστεύω ότι είναι η πρώτη δημοσιευθείσα.

.
Για την ιστορία, το Θεώρημα ότι είναι συνευθειακά το σημείο Fermat, το σημείο Ναπολέοντος και το Περίκεντρο ενός τριγώνου (χωρίς παραπομπή στην σελίδα 171 στην εξαιρετική "Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας" των Θωμαΐδη, Πούλου, εκδόσεις ΖΗΤΗ 2000) αναφέρεται από το 1994 στο άρθρο

Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 3, (1994), pp. 163-187 (βλέπε σελίδα 173, τρίτη γραμμή από το τέλος).

Από τότε εμφανίστηκε πολλές φορές σε βιβλία, όπως για παράδειγμα στου ίδιου του Kimberling το Triangle Centers and Central Triangles το 1998 (και πολλές επανεκδόσεις).

Ο τρόπος που εργάστηκε ο Kimberling, όπως οι Honsberger και Yff την ίδια εποχή, που είχε τότε γίνει της μόδας, ήταν με καταγραφή των τριγραμμικών συντεταγμένων (trilinear coordinates, βλέπε εδώ) μεγάλου πλήθους (πολλών χιλιάδων) αξιοσημείωτων σημείων του τριγώνου, τα οποία καταλογογράφησε ως

Για τα συγκεκριμένα σημεία οι τριγραμμικές είναι εύκολες:

Περίκεντρο είναι

Σημείο Fermat είναι και

Σημείο Ναπολέοντος είναι

Tώρα, για να δείξει κανείς ότι τρία σημεία με τριγραμμικές συντεταγμένες είναι συνευθειακά, δεν έχει παρά να δείξει ότι μηδενίζεται η ορίζουσα

.

Στην περίπτωση των τριών παραπάνω σημείων η απόδειξη είναι σχεδόν τετριμμένη, και δεν υπάρχει λόγος να την γράψω (απλό ανάπτυγμα της ορίζουσας, όπου θα δούμε ότι όλοι οι όροι απλοποιούνται).

Δεν τελειώνει εκεί η ιστορία: Σήμερα ο Kimberling και οι απανταχού συνεργάτες του έχουν καταγράψει περί τα (εβδομήντα δύο χιλιάδες) σημεία. Και με χρήση υπολογιστή βρίσκουν την ορίζουσα όλων των συνδυασμών τριών σημείων. Όταν η ορίζουσα βγει τότε την ελέγχουν με το χέρι για να πιστοποιήσουν την εκάστοτε συνευθειακότητα. Από την τεράστια αυτή εργασία, έχουν βγει ΑΠΙΘΑΝΕΣ συνευθειακότητες που δεν θα τις μάντευε κανείς αν δεν εργαζόταν πρώτα με υπολογιστή ώστε να τις υποπτευθεί.


Βλέπε την ιστοσελίδα της ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS (είναι σε 17 μέρη!) εδώ.

Edit αργότερα: Ας προσθέσω ότι η μελέτη των τριγραμμικών συντεταγμένων, και γενικότερα των ομογενών (όπως π.χ. των βαρυκεντρικών (barycentric) δεν είναι φαινόμενο των τελευταίων 25 ετών, αλλά υπάρχει τεράστια βιβλιογραφία τουλάχιστον 100 με 150 χρόνια νωρίτερα. Επινοήθηκαν από τον Möbius ο οποίος τις μελέτησε στο βιβλίο του Der barycentrische Calcul του 1827. Παρόμοια κλασικά τέτοια βιβλία είναι π.χ.

Whitworth, Trilinear Coordinates (1866) εδώ.

Milne, Homogeneous Coordinates (1910) εδώ.

και πολλά άλλα. Στους συγγραφείς της εποχής εκείνης ήσαν γνωστές πολλές συνευθειακότητες τριάδων κλασικών σημείων του τριγώνου. Η συμβολή του Kimberling ήταν ότι βρήκε απίστευτα πολλές άλλες, ιδίως σημείων που δεν τα μελετάμε ως κενρικού ενδιαφέροντος στην Γεωμετρία.

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της Πρότασης 16.

Αγαπητοί φίλοι,

Με τον παρακάτω σύνδεσμό μου, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Πρότασης αυτής:
https://drive.google.com/file/d/1HLHTyE ... dJO0I/view

Ή
Την απόδειξη μου αυτή θα βρείτε, αν πάτε και στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... fZ-vkhSWJg
και στη συνέχεια στη σελίδα 91.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Προ 25 ετών περίπου, ο κ. Clark Kimberling μου είχε στείλει έναν πίνακα, στον οποίο φαίνεται ότι μέχρι τότε είχαν εντοπίσει πολύ μικρότερο αριθμό αξιοσημείωτων σημείων του τριγώνου και την συνευθειακότητα ομάδων από τα σημεία αυτά.
(Προ 10 ετών περίπου μου ζήτησε και έδωσα αντίγραφο του πίνακα αυτού και στον φίλο Νίκο Δεργιαδέ).

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.

[gbaloglou]

Σε τηλεφωνική επικοινωνία που είχα με τον κ. Νίκο Κυριαζή και κ. Νίκο Δεργιαδέ,
με διαβεβαίωσαν ότι υπάρχει η πρόταση αυτή και δεν είναι νέα. Ο κ. Κυριαζής
παίρνοντας "πατριωτικά" την υπόθεση, μας απέστειλε μια γεωμετρική απόδειξη. Η
παρατήρησή του ότι ίσως η απόδειξη αυτή να είναι η πρώτη γεωμετρική απόδειξη
της πρότασης, ώθησε τη Σ.Ε. του ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ να συμπεριλάβει την εργασία του
αυτή στο 2ο τεύχος.

Νίκος Ιωσηφίδης, Απολλώνιος 2, Οκτώβριος 2003

[ΝΙΚΟΣ]

Γιώργο Καλή σου μέρα.


Νίκος

[Mihalis_Lambrou]

Σε τηλεφωνική επικοινωνία που είχα με τον κ. Νίκο Κυριαζή και κ. Νίκο Δεργιαδέ,
με διαβεβαίωσαν ότι υπάρχει η πρόταση αυτή και δεν είναι νέα.

Γιώργο, ευχαριστούμε για το σχόλιο. Ας σημειώσω ότι το επεσήμανα αυτό όταν έγραφα τα ιστορικά σχόλια παραπάνω, παραπέμποντας στο ακριβές σημείο στην πηγή της αναφοράς που είναι το άρθρο (1994) του Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 3, (1994), pp. 163-187 (βλέπε σελίδα 173, τρίτη γραμμή από το τέλος). Επίσης παρέπεμψα στο βιβλίο του ιδίου (1998).

[gbaloglou]

Σε τηλεφωνική επικοινωνία που είχα με τον κ. Νίκο Κυριαζή και κ. Νίκο Δεργιαδέ,
με διαβεβαίωσαν ότι υπάρχει η πρόταση αυτή και δεν είναι νέα.

Γιώργο, ευχαριστούμε για το σχόλιο. Ας σημειώσω ότι το επεσήμανα αυτό όταν έγραφα τα ιστορικά σχόλια παραπάνω, παραπέμποντας στο ακριβές σημείο στην πηγή της αναφοράς που είναι το άρθρο (1994) του Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 3, (1994), pp. 163-187 (βλέπε σελίδα 173, τρίτη γραμμή από το τέλος). Επίσης παρέπεμψα στο βιβλίο του ιδίου (1998).

Δεν φαίνεται πάντως να υπήρξε γεωμετρική απόδειξη πλην αυτής του Νίκου Κυριαζή: έθεσα το πρωί το ερώτημα στους Romantics of Geometry (Ρομαντικοί της Γεωμετρίας) [ΦΒ] και δεν έλαβα προς το παρόν κάποια απάντηση, ούτε καν τώρα που ξύπνησε η Β. Αμερική

Κυριαζής-Απολλώνιος-2003.png (84.56 KiB) Προβλήθηκε 1663 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Δεν φαίνεται πάντως να υπήρξε γεωμετρική απόδειξη πλην αυτής του Νίκου Κυριαζή: έθεσα το πρωί το ερώτημα στους Romantics of Geometry (Ρομαντικοί της Γεωμετρίας) [ΦΒ] και δεν έλαβα προς το παρόν κάποια απάντηση, ούτε καν τώρα που ξύπνησε η Β. Αμερική

Γιώργο, πολλή χρήσιμη η αναζήτησή σου αλλά ας προσθέσω ότι υπάρχει καλύτερη και γενικότερη πρόταση από αυτήν που συζητάμε. Συγκεκριμένα, απoδεικνύεται ότι

Αν έχουμε τρία τρίγωνα στο επίπεδο που ανά δύο είναι προοπτικά (το κόκκινο, το πράσινο και το μπλε στο σχήμα) και
οι τρεις ευθείες Desargue των τριγώνων (ανά ζεύγη) συμπίπτουν (η μαύρη στο σχήμα αριστερά) τότε τα τρία κέντρα ομολογίας τους (κίτρινα στο σχήμα) είναι συνευθειακά. (Έκανα διόρθωση στο αρχικό κείμενο).

Στην περίπτωσή μας τα τρία τρίγωνα στο άρθρο στον Απολλώνιο (τα ) είναι προοπτικά για τετριμμένους λόγους: Τα δύο ζεύγη εξ ορισμού ενώ για το ζεύγος προκύπτει επειδή οι μεσοκάθετουιτου διέρχονται αντίστοιχα από τις κορυφές . Δηλαδή το Θεώρημα που συζητάμε είναι άμεσο πόρισμα αυτού.

Να συμπληρώσω: Αν κοιτάξει κανείς τις Γεωμετρίες του 1850 έως 1900 που μελετάνε ομογενείς συντεταγμένες, θα βρει πληθώρα από τριάδες από συνευθειακά σημεία τουλάχιστον για τα πρώτα 20 σημεία του Kimberling. Σίγουρα ό,τι υπάρχει όταν κάποιο από αυτά είναι ένα από τα λεγόμενα Ελληνικά σημεία (περίκεντρο, έγκεντρο, βαρύκεντρο, ορθόκεντρο) και τα άλλα ένα από τα κλασικά (Fermat, Gergonne κλπ) δεν έχει ξεφύγει της προσοχής. Και αυτά πολύ νωρίτερα από την καταγραφή του Kimberling το 1994. Το σημαντικό στον Kimberling είναι ότι πρόσθεσε εκατοντάδες συνευθειακότητες στα ΚΑΝΟΥΡΓΙΑ σημεία, αλλά δεν ανακάλυψε τον τροχό. Για τα κλασικά σημεία, έχω δει πάμπολλές σχετικές εργασίες σε Αγγλικά, Γαλλικά και Γερμανικά περιοδικά της εποχής, δηλαδή εδώ και έναν αιώνα. Επίσης είδα πάμπολλα σε μικρότερη σχετική αναζήτηση που έκανα σε Ρώσικα, Πολωνικά, Ρουμάνικα και Ουγγρικά περιοδικά. Αυτά με αφορμή την διατριβή Ρουμάνου φίλου, Καθηγητή Δευτεροβάθμιας, στου οποίου είχα την τιμή να ήμουν, αν και ξένος, στην επιτροπή κρίσης του για να γίνει Διευθυντής. Το θέμα του ήταν συγκλίσεις και συνευθειακότητες στο τρίγωνο.

[gbaloglou]

Μιχάλη σ' ευχαριστούμε πολύ γι' αυτήν την εκ των άνω ματιά στην συγκεκριμένη συνευθειακότητα, καθώς και για τις άλλες πληροφορίες και διευκρινήσεις!

[Ομολογώ ότι όταν πριν αρκετούς/πολλούς μήνες διάβασα κάτι για 18000 'κέντρα' τα έχασα, τώρα βλέπω 72000, δεν ξέρω πόσα και πως 'ομαδοποιούνται' στο πνεύμα της παραπάνω δημοσίευσης σου (#210)...]

[ΝΙΚΟΣ]

Συμπέρασμα.
Υπάρχει γενική σχετική απόδειξη πρότασης για τρία ανά δύο προοπτικά τρίγωνα κτλ (γνωστόν), στην οποία μπορεί να βασισθεί και η απόδειξη της υπό συζήτηση πρότασης. Δεν υπάρχει όμως συγκεκριμένη λεπτομερής γεωμετρική απόδειξη ειδικά για την συγκεκριμένη υπό συζήτηση πρόταση.

Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Σε τηλεφωνική επικοινωνία που είχα με τον κ. Νίκο Κυριαζή και κ. Νίκο Δεργιαδέ,
με διαβεβαίωσαν ότι υπάρχει η πρόταση αυτή και δεν είναι νέα.

Γιώργο, ευχαριστούμε για το σχόλιο. Ας σημειώσω ότι το επεσήμανα αυτό όταν έγραφα τα ιστορικά σχόλια παραπάνω, παραπέμποντας στο ακριβές σημείο στην πηγή της αναφοράς που είναι το άρθρο (1994) του Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 3, (1994), pp. 163-187 (βλέπε σελίδα 173, τρίτη γραμμή από το τέλος). Επίσης παρέπεμψα στο βιβλίο του ιδίου (1998).

Δεν φαίνεται πάντως να υπήρξε γεωμετρική απόδειξη πλην αυτής του Νίκου Κυριαζή: έθεσα το πρωί το ερώτημα στους Romantics of Geometry (Ρομαντικοί της Γεωμετρίας) [ΦΒ] και δεν έλαβα προς το παρόν κάποια απάντηση, ούτε καν τώρα που ξύπνησε η Β. Αμερική



Κυριαζής-Απολλώνιος-2003.png

Γιώργο Καλημέρα.
Επειδή δε μπόρεσα, έστω και ιντερνετικά να μεταφράσω το παραπάνω Αγγλικό κείμενο, σε παρακαλώ όταν σου δοθεί ευκαιρία κάνε μου την μετάφρασή του.

Σε ευχαριστώ εκ των προτέρων.

΄
Νίκος Κυριαζής

[gbaloglou]

Σε τηλεφωνική επικοινωνία που είχα με τον κ. Νίκο Κυριαζή και κ. Νίκο Δεργιαδέ,
με διαβεβαίωσαν ότι υπάρχει η πρόταση αυτή και δεν είναι νέα.

Γιώργο, ευχαριστούμε για το σχόλιο. Ας σημειώσω ότι το επεσήμανα αυτό όταν έγραφα τα ιστορικά σχόλια παραπάνω, παραπέμποντας στο ακριβές σημείο στην πηγή της αναφοράς που είναι το άρθρο (1994) του Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 3, (1994), pp. 163-187 (βλέπε σελίδα 173, τρίτη γραμμή από το τέλος). Επίσης παρέπεμψα στο βιβλίο του ιδίου (1998).

Δεν φαίνεται πάντως να υπήρξε γεωμετρική απόδειξη πλην αυτής του Νίκου Κυριαζή: έθεσα το πρωί το ερώτημα στους Romantics of Geometry (Ρομαντικοί της Γεωμετρίας) [ΦΒ] και δεν έλαβα προς το παρόν κάποια απάντηση, ούτε καν τώρα που ξύπνησε η Β. Αμερική



Κυριαζής-Απολλώνιος-2003.png

Γιώργο Καλημέρα.
Επειδή δε μπόρεσα, έστω και ιντερνετικά να μεταφράσω το παραπάνω Αγγλικό κείμενο, σε παρακαλώ όταν σου δοθεί ευκαιρία κάνε μου την μετάφρασή του.

Σε ευχαριστώ εκ των προτέρων.

΄
Νίκος Κυριαζής

"To σημείο του Steiner, το σημείο του Ναπολέοντα, και το περίκεντρο αποδείχθηκε -- χρησιμοποιώντας τριγραμμικές συντεταγμένες -- ότι είναι συνευθειακά πριν τριάντα χρόνια: Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 3, (1994), pp. 163-187. Ο Νίκος Κυριαζής έδωσε μία Ευκλείδεια απόδειξη το 2003, που δημοσιεύτηκε στο 2ο τεύχος του "Απολλώνιου" (σελ. 91-93): https://drive.google.com/.../1HLHTyEgqb ... fW.../view . Άλλες τέτοιες 'στοιχειώδεις' αποδείξεις;"

[Δεν απάντησε κανείς προς το παρόν. Έχουμε ένα like από τον 'συνήθη ύποπτο', Ανδρέα Χατζηπολάκη.]

[ΝΙΚΟΣ]

Σε τηλεφωνική επικοινωνία που είχα με τον κ. Νίκο Κυριαζή και κ. Νίκο Δεργιαδέ,
με διαβεβαίωσαν ότι υπάρχει η πρόταση αυτή και δεν είναι νέα.

Γιώργο, ευχαριστούμε για το σχόλιο. Ας σημειώσω ότι το επεσήμανα αυτό όταν έγραφα τα ιστορικά σχόλια παραπάνω, παραπέμποντας στο ακριβές σημείο στην πηγή της αναφοράς που είναι το άρθρο (1994) του Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 3, (1994), pp. 163-187 (βλέπε σελίδα 173, τρίτη γραμμή από το τέλος). Επίσης παρέπεμψα στο βιβλίο του ιδίου (1998).

Δεν φαίνεται πάντως να υπήρξε γεωμετρική απόδειξη πλην αυτής του Νίκου Κυριαζή: έθεσα το πρωί το ερώτημα στους Romantics of Geometry (Ρομαντικοί της Γεωμετρίας) [ΦΒ] και δεν έλαβα προς το παρόν κάποια απάντηση, ούτε καν τώρα που ξύπνησε η Β. Αμερική



Κυριαζής-Απολλώνιος-2003.png

Γιώργο Καλημέρα.
Επειδή δε μπόρεσα, έστω και ιντερνετικά να μεταφράσω το παραπάνω Αγγλικό κείμενο, σε παρακαλώ όταν σου δοθεί ευκαιρία κάνε μου την μετάφρασή του.

Σε ευχαριστώ εκ των προτέρων.

΄
Νίκος Κυριαζής

"To σημείο του Steiner, το σημείο του Ναπολέοντα, και το περίκεντρο αποδείχθηκε -- χρησιμοποιώντας τριγραμμικές συντεταγμένες -- ότι είναι συνευθειακά πριν τριάντα χρόνια: Clark Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 3, (1994), pp. 163-187. Ο Νίκος Κυριαζής έδωσε μία Ευκλείδεια απόδειξη το 2003, που δημοσιεύτηκε στο 2ο τεύχος του "Απολλώνιου" (σελ. 91-93): https://drive.google.com/.../1HLHTyEgqb ... fW.../view . Άλλες τέτοιες 'στοιχειώδεις' αποδείξεις;"

[Δεν απάντησε κανείς προς το παρόν. Έχουμε ένα like από τον 'συνήθη ύποπτο', Ανδρέα Χατζηπολάκη.]

Γιώργο και πάλι σε ευχαριστώ πολύ.


Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 7ι(197).

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση του παρακάτω νέου Προβλήματος Γεωμετρικής Κατασκευής:

7ι(197). Να αχθούν τρεις συντρέχουσες παράλληλες ευθείες στις πλευρές τριγώνου, έτσι ώστε τα μεταξύ των παραλλήλων αυτών αποκοπτόμενα τμήματα από τις πλευρές του τριγώνου, να είναι ίσα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

(Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα).

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
viewtopic.php?f=112&t=5636&start=160
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.

[Mihalis_Lambrou]

7ι(197). Να αχθούν τρεις συντρέχουσες παράλληλες ευθείες στις πλευρές τριγώνου, έτσι ώστε τα μεταξύ των παραλλήλων αυτών αποκοπτόμενα τμήματα από τις πλευρές του τριγώνου, να είναι ίσα.

.
Παρανάγνωσα την άσκηση λύνοντας μία παρεμφερή αλλά δυσκολότερη, όμως παρακάτω στο ποστ # 221 δίνω λύση της σωστής άσκησης. Αφήνω την παρούσα ως έχει γιατί παρουσιάζει το δικό της ενδιαφέρον. Συγκεκριμένα εξέλαβα τα ίσα τμήματα να είναι από το Μ στις πλευρές (οι κόκκινες ή οι πράσινες στο σχήμα) αντί του ορθού, επί των πλευρών.

Το κύριο βήμα, όπως θα δούμε, είναι η λύση που έγραψα στο ποστ #56 εδώ

Βρίσκουμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων τέτοιων ώστε όπου και (κόκκινη γραμμή στο σχήμα, με αιτιολόγηση παρακάτω). Κάνουμε το ίδιο για τις παράλληλλες προς τις . Εκεί που τέμνονται οι δύο τόποι είναι προφανώς το ζητούμενο σημείο.

Για τους τόπους (αντιγράφω από το ποστ ) έχουμε: Φέρνουμε την διχοτόμο της και φέρνουμε την μεσοκάθετο της , η οποία τέμνει την στο . Τότε παράλληλη της αφού .

Εύκολα βλέπουμε ότι ο ζητούμενος γ.τ. είναι η . Πράγματι αν από τυχαίο σημείο της φέρουμε τις παράλληλες και έχουμε από όμοια τρίγωνα ότι . Αλλά , άρα , δηλαδή είναι σημείο του τόπου. 'Ομοια το αντίστροφο.

[ΝΙΚΟΣ]

Λϋση της Κατασκευής 7ι(197).

Αγαπητοί φίλοι,
Την λεπτομερή απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 7
Σελίδα 382
Κατασκευή 7i(197).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=45&t=7687&start=120
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση 4η(178)(α).

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη τη παρακάτω νέα Προταση Γεωμετρίας :

4η(178)(α). Κάθε τριάδα όμοιων τριγώνων, έχει ίσα τα έξι γινόμενα, που το καθένα αποτελείται από τρεις μη ομόλογες πλευρές τους, λαμβανόμενες ανά τρεις με όλους τους δυνατούς τρόπους και που η κάθε μια ανήκει σε διαφορετικό τρίγωνο από τα τρίγωνα αυτά.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

(Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα).

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
viewtopic.php?f=6&t=5323

[Mihalis_Lambrou]

4η(178)(α). Κάθε τριάδα όμοιων τριγώνων, έχει ίσα τα έξι γινόμενα, που το καθένα αποτελείται από τρεις μη ομόλογες πλευρές τους, λαμβανόμενες ανά τρεις με όλους τους δυνατούς τρόπους και που η κάθε μια ανήκει σε διαφορετικό τρίγωνο από τα τρίγωνα αυτά.

Aν οι πλευρές των όμοιων τριγώνων είναι α) του πρώτου, β) του δεύτερου και γ) του τρίτου, με και έχουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει



Αλλά αυτό είναι άμεσο αφού, για παράδειγμα, . Όμοια όλα τα άλλα γινόμενα είναι ίσα με για παρόμοιο άμεσο λόγο.