Σχεση συνεχειας f' με παραγωγισιμοτητα f

[alexndimis]

Αν η f' ειναι συνεχης (ειτε σε ενα x0 του πεδιου ορισμου της ειτε σε ολοκληρο το πεδιο ορισμου) τοτε ισοδυναμα η f ειναι παραγωγισιμη (στο x0 η σε ολο το πεδιο ορισμου αντιστοιχα);;;;

[BAGGP93]

Αν πεις ότι η είναι συνεχής σε ένα τότε είναι συνεχής σε κάθε αυτό σημαίνει (αυτό σε νοιάζει για το ερωτημά σου) ότι υπάρχει το δηλαδή η είναι παραγωγίσιμη στο

Η συνέχεια είναι κάτι έξτρα. Η παραγωγισιμότητα σε κάποιο του πεδίου ορισμού της εξασφαλίζεται από το

[Mihalis_Lambrou]

Αν η f' ειναι συνεχης (ειτε σε ενα x0 του πεδιου ορισμου της ειτε σε ολοκληρο το πεδιο ορισμου) τοτε ισοδυναμα η f ειναι παραγωγισιμη (στο x0 η σε ολο το πεδιο ορισμου αντιστοιχα);;;;

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Το ζητούμενο (από δεξιά προς τα αριστερά) δεν ισχύει: Υπάρχουν παραδείγματα συναρτήσεων που ορίζονται σε όλο το οι οποίες είναι παραγωγίσιμες σε κάποιο που όμως η παράγωγος δεν είναι συνεχής στο . Επειδή σίγουρα υπάρχει παράδειγμα στο βιβλίο του μαθήματος που παρακολουθείς, δεν θα σου γράψω εδώ τέτοιο παράδειγμα για να έχεις την χαρά να το βρεις μόνος σου (με την βοήθεια του βιβλίου σου). Αν δεν το βρεις, εδώ είμαστε να σου δώσουμε μία υπόδειξη.

Το προηγούμενο ποστ απαντά το ζητούμενο από αριστερά προς τα δεξιά (που ισχύει). Αυτό που λέω εδώ είναι ότι δεν ισχύει το αντίστροφο, δηλαδή δεν έχουμε ισοδυναμία.

[alexndimis]

Η αποδειξη στο ερωτημα μου ποια ειναι;; (Μαθητης Γ λυκειου ειμαι οποτε δεν μπορεσα να βρω κατι στο βιβλιο μου)

[Maria-Eleni Nikolaou]

Η αποδειξη στο ερωτημα μου ποια ειναι;; (Μαθητης Γ λυκειου ειμαι οποτε δεν μπορεσα να βρω κατι στο βιβλιο μου)

Αν θέλεις, δοκίμασε να υπολογίσεις την παράγωγο της συνάρτησης στην άσκηση 10, σελίδα 174-175. Έπειτα, εξέτασε τη συνέχεια της παραγώγου.

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

#1. συνεχής στο ορίζεται στο παραγωγίσιμη στο

Όπως έχει ήδη επισημανθεί στην τρίτη ανάρτηση έχουμε
#2. παραγωγίσιμη στο συνεχής στο
ενώ το παράδειγμα που προτείνεται στην πέμπτη ανάρτηση είναι το κλασικό που εξηγεί αυτή την περίπτωση

#3. συνεχής παραγωγίσιμη
Εκ πρώτης όψεως αντιφάσκει με το #1. αλλά δε συμβαίνει κάτι τέτοιο
αρκεί να δούμε προσεκτικά τους ορισμούς του σχολικού βιβλίου.
Για παράδειγμα έστω με
Έχουμε με
Η δεν είναι παραγωγίσιμη (χάνει το ) ενώ η είναι συνεχής

Από το #2. έπεται τετριμμένα το
#4. παραγωγίσιμη στο συνεχής στο

[alexndimis]

Άρα για να ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει το διάστημα που δουλεύουμε πρέπει να είναι κοινό και στην f' και στην f

[Mihalis_Lambrou]

Άρα για να ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει το διάστημα που δουλεύουμε πρέπει να είναι κοινό και στην f' και στην f

Όχι. Δεν προκύπτει αυτό το συμπέρασμα. Ίσα ίσα στα παραπάνω σου έδωσαν παραδείγματα όπου η και η ορίζονται παντού αλλά η δεν είναι συνεχής σε κάποιο (στο οποίο ορίζεται).

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Άρα για να ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει το διάστημα που δουλεύουμε πρέπει να είναι κοινό και στην f' και στην f

Ναι στην περίπτωση "κοινού διαστήματος" η τρίτη συνεπαγωγή "αποκαθίσταται".
Λόγω της πρώτης συνεπαγωγής για κάθε σύνολο μπορούμε να πούμε:
#3'. συνεχής στο παραγωγίσιμη στο

Edit: Μόλις τώρα είδα την απάντηση του κυρίου Λάμπρου στην όγδοη ανάρτηση (στην οποία δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα). Απάντησα υποθέτοντας (ενδεχομένως εσφαλμένα) ότι το σχόλιό σου αφορά την τρίτη συνεπαγωγή στην απάντησή μου στην έκτη ανάρτηση.

[alexndimis]

Κακώς δεν το διευκρίνισα, αλλά ναι στην τρίτη συνεπαγωγή αναφερομουν. Πάντως αυτό δεν μπορώ να το χρησιμοποιήσω φαντάζομαι στις πανελλαδικές εξετάσεις

[stranger]

Συμβουλή:
Άσε την άσκηση και ξεκαθάρισε κάποιες έννοιες πρώτα.

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Κακώς δεν το διευκρίνισα, αλλά ναι στην τρίτη συνεπαγωγή αναφερομουν. Πάντως αυτό δεν μπορώ να το χρησιμοποιήσω φαντάζομαι στις πανελλαδικές εξετάσεις

Η τρίτη (μη) συνεπαγωγή στην έκτη ανάρτηση πρέπει να συνοδεύεται από παράδειγμα (είναι που ακούγεται και λάθος!)

Η συνεπαγωγή στην ένατη ανάρτηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς εξηγήσεις και αυτό γιατί:

Στο βιβλίο υπάρχουν τέσσερις ορισμοί συνέχειας:
#1. Συνέχεια σε σημείο
#2. Συνέχεια (σκέτο, ήτοι στο πεδίο ορισμού)
#3. Συνέχεια σε ανοιχτό διάστημα
#4. Συνέχεια σε κλειστό διάστημα.

Και στους τέσσερις ορισμούς τα σημεία και τα σύνολα αναφοράς θεωρούνται αντίστοιχα στοιχεία και υποσύνολα του πεδίου ορισμού. Οπότε όταν ξέρουμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σύνολο θεωρείται αυτονόητο ότι ορίζεται σε αυτό.

[alexndimis]

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας!!!