Δύο αθροίσματα Riemann

Tolaso J Kos · #1

Μεταφέρω από το θέμα εδώ τις παρακάτω ασκήσεις ... μιας και ξεχάστηκαν.

Άσκηση 18

Έστω p_n

ο

-οστός πρώτος και

συνεχής συνάρτηση Riemann ολοκληρώσιμη στο (0, 1)

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left (\frac{p_k}{p_n} \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Άσκηση 19

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής περιοδική συνάρτηση με περίοδο

και $\alpha$ ένας άρρητος αριθμός. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left ( k \alpha \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2023 10:08 pm

Άσκηση 19

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής περιοδική συνάρτηση με περίοδο και $\alpha$ ένας άρρητος αριθμός. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left ( k \alpha \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

.
Για να κλείνει:

Επειδή η άκρως ενδιαφέρουσα αυτή άσκηση (Θεώρημα) είναι γνωστή και μπορεί να την βρει κανείς στην βιβλιογραφία που παραπέμπω, θα γράψω μόνο περίληψη με εκτενή υπόδειξη.

Aκολουθίες (a_k)

με την παραπάνω ιδιότητα ως προς το ολοκλήρωμα Riemann ονομάζονται ισοκατανεμημένες (equidistributed). Βλέπε εδώ. (Ο αρχικός ορισμός των ισοκατανεμημένων είναι διαφορετικός, αλλά αποδεικνύεται ισοδύναμος με το παραπάνω). Όποτε η άσκηση ουσιαστικά μες ζητά να αποδείξουμε ότι η ακολουθία a_k= ka-[ka]

είναι ισοκατενεμημένη για δοθέντα άρρητο

. To ότι έγραψα "ακέραιο μέρος" στην παράσταση είναι χρήση της περιοδικότητας που έχει η συνάρτηση στην εκφώνηση της άσκησης.

Τώρα, στην παραπομπή που έδωσα υπάρχει το λεγόμενο κριτήριο Weyl που εξασφαλίζει (με ισοδυναμία) την ιδιότητα της ισοκατανομής σε μία ακολουθία, συγκεκριμένα αυτό συμβαίνει όταν

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^{n} e^{ 2\pi iNa_k} \to 0$ για κάθε $N\in \mathbb Z^*}$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^{n} \cos ( 2\pi iNa_k}) \to 0 }$ και $\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^{n} \sin (2\pi iNa_k}) \to 0$ για κάθε $N\in \mathbb Z^*}$ ... (*)

.

Εφαρμογή αυτού (υπάρχει στην παραπάνω παραπομπή) είναι ότι η ακολουθία a_k= ka-[ka]

είναι ισοκατανεμημένη αν και μόνοαν αν

άρρητος.

Τώρα, οι (*)

μας λένε ότι ισχύει το αποδεικτέο της άσκησης ειδικά για τις συνεχείς συναρτήσεις $\cos (Nx), \, \sin (Nx)$ .

Όμως αυτό μας αρκεί γιατί από την τριγωνομετρική μορφή του Θεωρήματος Weierstrass (υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης αλλά βλέπε και εδώ κάθε συνεχής συνάρτηση στο [0,1]

είναι ομοιόμορφο όριο τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Τα υπόλοιπα απλά.

(Υ.Γ. Έχω λύση και της Άσκησης 18, αλλά χρησιμοποιώ βαρύ πυροβολικό, συγκεκριμένα το Θεώρημα των πρώτων αριθμών στην μορφή $p_n\sim n \log n$ . Θα την γράψω εν καιρώ. Πιστεύω ότι δεν υπάρχει λύση χωρίς Θεώρημα των πρώτων αριθμών, αλλά ας μας το πει αυτό ο θεματοθέτης, ο Τόλης.)

Tolaso J Kos · #4

Μιχάλη,

για την 18 έχω δει μόνο λύση με το θεώρημα των πρώτων …

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2023 10:08 pm

Άσκηση 18

Έστω ο -οστός πρώτος και συνεχής συνάρτηση Riemann ολοκληρώσιμη στο . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left (\frac{p_k}{p_n} \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

.
Εντυπωσιακό αποτέλεσμα. Θα ήταν χρήσιμο να βρεθούν ωραίες εφαρμογές του, επιλέγοντας κατάλληλη

κάθε φορά, που να δίνουν ιδιότητες της ακολουθίας (p_n)

των πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα εφαρμόζοντας το στην f(x)=x

δίνει ως συμπέρασμα ότι ο μέσος όρος των πρώτων

πρώτων, ο $\frac {1}{n} (p_1+p_2+...+p_n)$ , είναι ασυμπτωτικά ίσος με το μισό του τελευταίου, δηλαδή είναι $\sim \frac{1}{2}p_n$ .

Στο θέμα μας. Αφού από το Θεώρημα Weierstrass κάθε δεδομένη συνεχής συνάρτηση είναι ομοιόμορφο όριο πολυωνύμων, αρκεί να αποδείξουμε το αποτέλεσμα για τις συναρτήσεις 1, x, x^2, x^3, ...

. Έτσω λοιπόν ένα σταθερό $N\in \mathbb N$ . Θέλουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{ \dfrac{\sum_{k=1}^{n} p^N_k }{np^N_n} \to \int_{0}^{1} x^N \, dx = \dfrac {1}{N+1}}$

Από Λήμμα Stolz (βλέπε εδώ) αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle{ \dfrac {p^N_n}{np^N_n-(n-1)p^N_{n-1} }\to \dfrac {1}{N+1}}$

Aπό το Θεώρημα των πρώτων αριθμών είναι $p_n \sim n \log n$ , οπότε ισοδύναμα το αποδεικτέο είναι

$\displaystyle{ \dfrac {n^N\log ^Nn}{n^{N+1}\log ^Nn-(n-1)^{N+1} \log ^N (n-1) }\to \dfrac {1}{N+1}}$

H παράσταση αυτή γράφεται

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n-n \left (\dfrac {n-1}{n} \right )^{N+1}\left ( \dfrac {\log (n-1)}{\log n} \right )^N }= \dfrac {1}{n-n \left (1- \dfrac {1}{n} \right )^{N+1}\left ( 1+ \dfrac {\log (1-\frac {1}{n} )}{\log n} \right )^N } = }$

$\displaystyle{ = \dfrac {1}{n-n \left (1- \dfrac {1}{n} \right )^{N+1}\left ( 1+ \dfrac {-\frac {1}{n} + \big O( \frac {1}{n^2} )}{\log n} \right )^N } = \dfrac {1}{n-n \left (1- \dfrac {N+1}{n} + \big O( \frac {1}{n^2} ) \right )\left ( 1 -\frac {N}{n} + \big O( \frac {1}{n^2} ) \right ) } =}$

$\displaystyle{ =\dfrac {1}{ N+1 + \big O( \frac {1}{n} )} \to \dfrac {1}{N+1}}$ ,

όπως θέλαμε.

Δύο αθροίσματα Riemann

Δύο αθροίσματα Riemann

Re: Δύο αθροίσματα Riemann

Re: Δύο αθροίσματα Riemann

Re: Δύο αθροίσματα Riemann

Re: Δύο αθροίσματα Riemann

Μέλη σε σύνδεση