Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται διάστημα $\Delta\subseteq \mathbb{R}$ και $f\colon\Delta\to\mathbb{R}$ μια συνεχής και 1-1 συνάρτηση.

Χρησιμοποιώντας ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ αποτελέσματα που βρίσκονται ΕΝΤΟΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ της Γ' Λυκείου,
να αποδειχθεί ότι η αντίστροφη της συνάρτησης

, δηλαδή η $f^{-1}\colon f(\Delta)\to\mathbb{R}$ , είναι συνεχής.

Σημείωση #1
Στο πλαίσιο της παρούσας ανάρτησης, μεταξύ άλλων, δεν έχουν θέση
προσεγγίσεις που χρησιμοποιούν τον ορισμό του ορίου (με $\varepsilon,\delta$ ή τον ακολουθιακό).

Σημείωση #2
Το ζητούμενο έχει απασχολήσει παλαιόθεν το

όπως υποδηλώνουν οι σύνδεσμοι:

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 61&t=48766
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =61&t=3696
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 049#p40049
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 52&t=53359
https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=21190

Λύση εντός Γ' Λυκείου που να έχει αντέξει σε κριτική δεν φαίνεται να έχει αναρτηθεί.

Επειδή βέβαια δεν έγινε εξονυχιστικός έλεγχος όλων των αναρτήσεων, αν έχει αναρτηθεί λύση,
ας υποδείξει κάποιος το σχετικό σύνδεσμο! Ει δε μη, ας προχωρήσουμε σε παράθεση λύσεων

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 16, 2024 9:25 pm
Δίνεται διάστημα $\Delta\subseteq \mathbb{R}$ και $f\colon\Delta\to\mathbb{R}$ μια συνεχής και 1-1 συνάρτηση.

Χρησιμοποιώντας ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ αποτελέσματα που βρίσκονται ΕΝΤΟΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ της Γ' Λυκείου,
να αποδειχθεί ότι η αντίστροφη της συνάρτησης , δηλαδή η $f^{-1}\colon f(\Delta)\to\mathbb{R}$ , είναι συνεχής.

Σημείωση #1
Στο πλαίσιο της παρούσας ανάρτησης, μεταξύ άλλων, δεν έχουν θέση
προσεγγίσεις που χρησιμοποιούν τον ορισμό του ορίου (με $\varepsilon,\delta$ ή τον ακολουθιακό).

Σημείωση #2
Το ζητούμενο έχει απασχολήσει παλαιόθεν το όπως υποδηλώνουν οι σύνδεσμοι:

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 61&t=48766
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =61&t=3696
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 049#p40049
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 52&t=53359
https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=21190

Λύση εντός Γ' Λυκείου που να έχει αντέξει σε κριτική δεν φαίνεται να έχει αναρτηθεί.

Επειδή βέβαια δεν έγινε εξονυχιστικός έλεγχος όλων των αναρτήσεων, αν έχει αναρτηθεί λύση,
ας υποδείξει κάποιος το σχετικό σύνδεσμο! Ει δε μη, ας προχωρήσουμε σε παράθεση λύσεων

Μια προσπάθεια…

Έστω $g:A \rightarrow \mathbb{R}$ , όπου $g=f^{-1}$ και $A=f(\Delta})$ . Επίσης, είναι: $g(A)= \Delta$ .

Γνωρίζουμε τα εξής:

$\bullet$ Η

είναι γνησίως μονότονη. (1)
(Υπάρχει απόδειξη στα περισσότερα βοηθήματα, αλλά όχι στο σχολικο βιβλίο, οπότε στις πανελλήνιες θα έπρεπε να σημειωθεί. Είναι γνωστό πάντως στη Γ’ Λυκείου).

$\bullet$ Το πεδίο ορισμού της

είναι διάστημα. (2)

$\bullet$ Το σύνολο τιμών της

είναι διάστημα. (3)

Έστω (ως προς άτοπο) ότι υπάρχει εσωτερικό σημείο $x_0 \in A$ τέτοιο ώστε $\displaystyle {\lim_{x \to x_0}{g(x)} \neq g(x_0)}$ , δηλαδή η

είναι ασυνεχής στο τυχόν x_0

.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, λόγω της (1), ας υποθέσουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

Τότε, έχουμε:

$\displaystyle {\boxed{l=\lim_{x \to x_0^-}{g(x)} \leq g(x_0) \leq \lim_{x \to x_0^+}{g(x)}=m}}$ (4)

Αν δεν ίσχυε η (4), τότε θα χαλούσε η μονοτονία της

.

Προφανώς, αν ισχύει παντού η ισότητα στην (4), τότε η

θα ήταν συνεχής στο x_0

.

Εξετάζουμε τις περιπτώσεις για γνήσια ανισότητα παντού, και ισότητα με γνήσια ανισότητα. Καταγράφω μια περίπτωση και οι άλλες προκύπτουν όμοια.

(a) Έστω,

$\displaystyle {l=\lim_{x \to x_0^-}{g(x)} = g(x_0) < \lim_{x \to x_0^+}{g(x)}=m}$

Τότε, έχουμε l=g(x_0) <m

, συνεπώς υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $l=g(x_0)< \xi < m$ (5).

Η (5) αντίκειται στην (3) που επιβάλλει ότι το σύνολο τιμών της

είναι διάστημα. Εδώ, εντοπίσαμε ένα $\xi$ που δεν ανήκει στο σύνολο τιμών, ενώ εκατέρωθεν αυτού υπάρχουν δύο υποδιαστήματα που απαρτίζουν το σύνολο τιμών της

. Καταλήξαμε σε άτοπο.

stranger · #3

Ωραία ας αποδείξουμε τώρα το ζητούμενο χωρίς να υποθέσουμε ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν.
Υπήρξε μια βλάβη της γενικότητας στην προηγούμενη απόδειξη.
Ουσιαστικά δεν υπήρξε καμία βλάβη αλλά αυτό είναι πιο προχωρημένο θέμα.

Maria-Eleni Nikolaou · #4

stranger έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 17, 2024 7:01 pm
Ωραία ας αποδείξουμε τώρα το ζητούμενο χωρίς να υποθέσουμε ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν.
Υπήρξε μια βλάβη της γενικότητας στην προηγούμενη απόδειξη.
Ουσιαστικά δεν υπήρξε καμία βλάβη αλλά αυτό είναι πιο προχωρημένο θέμα.

Καλησπέρα σας.

Πράγματι, παρέλειψα την «αυστηρή» απόδειξη της ύπαρξης των πλευρικών ορίων.

Προσωπικά, θεώρησα το αποτέλεσμα προφανές και την απόδειξη μη αναγκαία από μαθητή Γ’ Λυκείου.

Παρακάτω, παραθέτω τον σκελετό της απόδειξης που έχω κατά νου.

Εφόσον η

είναι μονότονη (έχουμε θεωρήσει ότι είναι γνησίως αύξουσα), μπορούμε να ορίσουμε το σύνολο:

$L(x_0)=\{g(x):x \in A, \,\,\ x<x_0\}$ .

Το L(x_0)

είναι μη κενό και άνω φραγμένο από το g(x_0)

.

Αν $l=\sup L(x_0)$ αποδεικνύεται ότι:

$\displaystyle { \lim_{x \to x_0^-}{g(x)}=l$

Αντίστοιχα, μπορούμε να ορίσουμε το σύνολο:

$R(x_0)=\{g(x):x \in A, \,\,\ x>x_0\}$ .

Το R(x_0)

είναι μη κενό και κάτω φραγμένο από το g(x_0)

.

Αν $m=\inf R(x_0)$ αποδεικνύεται ότι:

$\displaystyle { \lim_{x \to x_0^+}{g(x)}=m$

stranger · #5

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 17, 2024 8:08 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 17, 2024 7:01 pm
Ωραία ας αποδείξουμε τώρα το ζητούμενο χωρίς να υποθέσουμε ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν.
Υπήρξε μια βλάβη της γενικότητας στην προηγούμενη απόδειξη.
Ουσιαστικά δεν υπήρξε καμία βλάβη αλλά αυτό είναι πιο προχωρημένο θέμα.
Καλησπέρα σας.

Πράγματι, παρέλειψα την «αυστηρή» απόδειξη της ύπαρξης των πλευρικών ορίων.

Προσωπικά, θεώρησα το αποτέλεσμα προφανές και την απόδειξη μη αναγκαία από μαθητή Γ’ Λυκείου.

Παρακάτω, παραθέτω τον σκελετό της απόδειξης που έχω κατά νου.

Εφόσον η είναι μονότονη (έχουμε θεωρήσει ότι είναι γνησίως αύξουσα), μπορούμε να ορίσουμε το σύνολο:

$L(x_0)=\{g(x):x \in A, \,\,\ x<x_0\}$ .

Το είναι μη κενό και άνω φραγμένο από το .

Αν $l=\sup L(x_0)$ αποδεικνύεται ότι:

$\displaystyle { \lim_{x \to x_0^-}{g(x)}=l$

Αντίστοιχα, μπορούμε να ορίσουμε το σύνολο:

$R(x_0)=\{g(x):x \in A, \,\,\ x>x_0\}$ .

Το είναι μη κενό και κάτω φραγμένο από το .

Αν $m=\inf R(x_0)$ αποδεικνύεται ότι:

$\displaystyle { \lim_{x \to x_0^+}{g(x)}=m$

Αυτά που λες είναι σωστά όμως οι έννοιες του supremmum και infimum δεν είναι αντικείμενα μελέτης της Γ Λυκείου.

Maria-Eleni Nikolaou · #6

stranger έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 17, 2024 9:32 pm
Αυτά που λες είναι σωστά όμως οι έννοιες του supremmum και infimum δεν είναι αντικείμενα μελέτης της Γ Λυκείου.

Σωστά, για αυτό και τα παρέλειψα στο post #2.

Απλώς τα ανέφερα για να μην δημιουργηθεί σύγχυση.
(Μην ψάχνει κάποιος άδικα αντιπαράδειγμα κλπ…)

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #7

Θα παραθέσουμε μια απόδειξη του ζητουμένου του νήματος.
Πριν την ανάγνωση της απόδειξης ενδείκνυται να αναγνωστεί η εισαγωγή που προηγείται.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ' Λυκείου έχουμε δυο τρόπους με τους οποίους μπορεί να αποδειχθεί η ύπαρξη ενός ορίου:
#1. το κριτήριο της παρεμβολής
#2. το θεώρημα στη σελίδα 78 του σχολικού βιβλίου (εφ' εξής σ78):
(http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... xB1_8.html)

"Αν μια συνάρτηση $\color{blue}f$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα
$\color{blue}(a, b)$ , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $\color{blue}(A, B)$
όπου $\color{blue}A=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$ και $\color{blue}B=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)$ "

Εάν κανείς δεν έχει πρόβλημα να αναγνωρίσει στο σ78 την ακόλουθη ακριβέστερη διατύπωση,

"Αν μια συνάρτηση $\color{blue}f$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $\color{blue}(a, b)$ ,
τότε τα όρια $\color{red}A=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$ , $\color{red}B=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)$ υπάρχουν,
και το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $\color{blue}(A, B)$ "

τότε μπορεί να αγνοήσει το υπόλοιπο μέρος της εισαγωγής και να προχωρήσει στην ανάγνωση της απόδειξης!
Εάν όμως υπάρχουν επιφυλάξεις ας συνεχίσει στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ.

Η απόκτηση status "απόδειξη Γ' Λυκείου" της απόδειξης που θα ακολουθήσει, στηρίζεται ουσιωδώς στην αποδοχή ότι η ύπαρξη
των ορίων $\color{blue}\lim\limits_{x\to a^+}f(x),\lim\limits_{x\to b^-}f(x)$ ανήκει στα (σιωπηρά) συμπεράσματα του σ78 (υπό τις προϋποθέσεις εφαρμογής του).

Επειδή όμως στη διατύπωση του σ78 δεν αναφέρεται κατηγορηματικά ότι τα όρια αυτά υπάρχουν, ενδεχομένως να υπάρξει η ένσταση ότι "η απόδειξη χρησιμοποιεί ύλη εκτός της Γ΄Λυκείου". Επειδή μια τέτοια ένσταση δεν είναι αβάσιμη, της αξίζει μια προκαταβολική απάντηση με τις εξής παρατηρήσεις:

$\color{red}\bullet$ Όταν η εφαρμογή ενός θεωρήματος προϋποθέτει την ύπαρξη κάποιου ή κάποιων ορίων, το σχολικό βιβλίο δεν παραλείπει να το τονίσει.
$\color{blue}\bullet$ Στο σχολικό βιβλίο υπάρχουν θεωρήματα στα συμπεράσματα των οποίων συγκαταλέγεται η ύπαρξη ορίων χωρίς αυτό να δηλώνεται ρητά.

Για παράδειγμα ας πάμε στη σελίδα 48 στην αρχή της παραγράφου Όρια και πράξεις στο ΘΕΩΡΗΜΑ και ας προσέξουμε πως ξεκινά:
(http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... xB1_5.html)

"Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων $\color{blue}f$ και $\color{blue}g$ στο $\color{blue}x_o$ , τότε $\color{blue}\lim\limits_{x\to x_o}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\to x_o}f(x)+\lim\limits_{x\to x_o}g(x)$ ".

$\bullet$ Το βιβλίο αναφέρει κατηγορηματικά ότι ο παραπάνω τύπος δεν πρέπει να
χρησιμοποιηθεί πριν βεβαιωθούμε ότι τα όρια $\color{blue}\lim\limits_{x\to x_o}f(x)$ , $\color{blue}\lim\limits_{x\to x_o}g(x)$ υπάρχουν.
$\bullet$ Επίσης η ύπαρξη του ορίου $\color{blue}\lim\limits_{x\to x_o}[f(x)+g(x)]$ δεν αποτελεί προϋπόθεση εφαρμογής αυτού του τύπου!
(πάντα υπό την προϋπόθεση ότι τα $\color{blue}\lim\limits_{x\to x_o}f(x)$ , $\color{blue}\lim\limits_{x\to x_o}g(x)$ υπάρχουν)
$\bullet$ Επίσης κάτι που δεν αναφέρει ρητά το βιβλίο είναι ότι όταν τα $\color{blue}\lim\limits_{x\to x_o}f(x)$ , $\color{blue}\lim\limits_{x\to x_o}g(x)$ υπάρχουν τότε το όριο $\color{blue}\lim\limits_{x\to x_o}[f(x)+g(x)]$ επίσης υπάρχει. Αντίθετα, αποτελεί σιωπηρό συμπέρασμα του θεωρήματος και δεν αναφέρεται ρητά στη διατύπωση του.

Κάτι ανάλογο ισχύει στους κανόνες De L' Hospital στις σελίδες 164-165
(http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... xB2_9.html)
Η ύπαρξη του ορίου $\lim\limits_{x\to x_o}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ δηλώνεται ρητά ως προϋπόθεση εφαρμογής τους, ενώ η ύπαρξη του ορίου $\lim\limits_{x\to x_o}\frac{f(x)}{g(x)}$
(που αποτελεί λογιστικό στόχο των κανόνων) δεν δηλώνεται ρητά ως συμπέρασμα του θεωρήματος ενώ είναι.

$\color{green}\bullet$ Η υπό εξέταση ένσταση σημαίνει ότι οι συγγραφείς του σχολικού βιβλίου
είτε σιωπηρά περιλαμβάνουν στη διατύπωση του σ78
είτε έχουν ξεχάσει να συμπεριλάβουν ρητά σε αυτήν,
τη συνθήκη που προσθέτουμε εμείς με ερυθρά απόχρωση στην ακόλουθη διατύπωση:

"Αν μια συνάρτηση $\color{blue}f$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $\color{blue}(a, b)$ ,
και τα όρια $\color{red}A=\lim\limits_{x\to a^+}f(x), B=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)$ υπάρχουν,
τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $\color{blue}(A, B)$ "

Όμως... δοθείσης μιας μονότονης συνάρτησης ορισμένης σε διάστημα (αδιάφορο αν είναι συνεχής ή όχι) τα πλευρικά της όρια υπάρχουν πάντα, σε κάθε σημείο του διαστήματος. Ακόμη και στα άκρα του, παρ' ότι το όριο εκεί ενδέχεται να μην είναι πεπερασμένο, εντούτοις θα υπάρχει.

Αυτό το αποτέλεσμα είναι πέραν πάσης αμφιβολίας γνωστό στους συγγραφείς του
σχολικού βιβλίου, οπότε αποκλείεται το σ78 να συνοδεύεται από την άνωθι συνθήκη
είτε στη σκέψη των συγγραφέων είτε στη συγγραφική τους πρόθεση.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ι. ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΑ

Δοθέντος ενός σημείου y_o

του πεδίου ορισμού της (γνησίως αύξουσας) $f^{-1}$ κατασκευάζουμε
(όπως φαίνεται στο σχήμα) μια τμηματικά γραμμική συνάρτηση η οποία δεξιά του y_o

φράσσει
άνωθεν την $f^{-1}$ και της οποίας το όριο από τα δεξιά στο y_o

υπάρχει (χάρη στο σ78) και είναι ίσο x_o

.
Κατόπιν με το κριτήριο της παρεμβολής αποδεικνύεται το ζητούμενο.

ΙΙ. ΛΕΠΤΟΜΕΡΩΣ

Η

θα είναι γνησίως μονότονη. Έστω ότι είναι γνησίως αύξουσα.
Το ίδιο θα ισχύει για την $f^{-1}$ η οποία θα έχει πεδίο ορισμού το διάστημα $f(\Delta)$
Έστω $x_o\in\Delta$ που δεν είναι δεξί άκρο του $\Delta$ οπότε έστω $x_o < x_1\in \Delta$
και έστω y_o=f(x_o)

και

(οπότε ούτε το y_o

είναι δεξί άκρο του $f(\Delta)$ )
Θεωρούμε $x_n=x_o+\frac{x_1-x_o}{2^{n-1}}$ για $n\in\mathbb{N}^*$
Ορίζουμε y_n=f(x_n)

και προφανώς για κάθε n>1

θα ισχύει
$x_o< x_{n+1}<x_n<x_1$ και $y_o< y_{n+1}<y_n<y_1$

Είναι απλό να δείξουμε ότι (x_o,x_1)

είναι είναι ίσο με την ένωση των διαστημάτων $[x_{n+1},x_n)$ για $n\in\mathbb{N}^*$
Πράγματι η ένωση αυτή είναι υποσύνολο του (x_o,x_1)

ενώ αν υπήρχε $\eta$ με $x_o<\eta<x_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N}^*$
θα είχαμε $0< \frac{\eta-x_o}{x_1-x_o} < \frac{1}{2^{n-1}}$ για κάθε $n\in\mathbb{N}^*$ το οποίο είναι αδύνατον.
Από το σ78 έπεται f((x_o,x_1))=(y_o,y_1)

οπότε το

είναι ένωση των διαστημάτων $[y_{n+1},y_n)$

Ορίζουμε την (τμηματικά γραμμική) συνάρτηση $h\colon(y_o,y_1)\to\mathbb{R}$
με $h(y)=x_{n-1}+\frac{y-y_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}(x_{n}-x_{n-1})$ για κάθε $y\in[y_{n+1},y_n)$
για την οποία, μεταξύ άλλων, για κάθε $n\in\mathbb{N}^*-\{1\}$ θα ισχύουν
$y\in[y_{n+1},y_n)$ $\Rightarrow x_{n}\le h(y)< x_{n-1}$ και $h(y_n)=x_{n-1}$
οπότε $y\in[y_{o},y_n)$ $\Rightarrow x_{o}\le h(y)< x_{n-1}$ $\color{red}(*)$

Η συνάρτηση

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα επομένως
σύμφωνα με το σ78 το σύνολο τιμών της θα είναι το $(\lim\limits_{y\to y_o^+}h(y),\lim\limits_{y\to y_1^-}h(y))$
!#!#! Το ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: το όριο $\color{blue}\ell=\lim\limits_{y\to y_o^+}h(y)$ υπάρχει !#!#!
Από τις ιδιότητες των ορίων στην ανισότητα $\color{red}(*)$ έχουμε $x_o\le\ell\le x_n$ για κάθε $n\in\mathbb{N^*}$

οπότε $0\le \frac{\ell-x_o}{x_1-x_o} \le \frac{1}{2^{n-1}}$ για κάθε $n\in\mathbb{N}^*$ από το οποίο έπεται $\ell=x_o$

Επίσης για κάθε $n\in\mathbb{N}^*$ ισχύει $y\in[y_{n+1},y_n)$ $\Rightarrow x_o < x_{n+1} \le f^{-1}(y)<x_n \le h(y)$
οπότε $x_o<f^{-1}(y)<h(y)$ για κάθε $y\in (y_o,y_1)$
Εφαρμόζοντας στην τελευταία ανισότητα το κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε $\lim\limits_{y\to y_o^+}f^{-1}(y)=x_o=f^{-1}(y_o)$
Ομοίως αν το x_o

δεν είναι αριστερό άκρο του $\Delta$ βρίσκουμε ότι $\lim\limits_{y\to y_o^-}f^{-1}(y)=x_o=f^{-1}(y_o)$
οπότε σε κάθε περίπτωση η $f^{-1}$ είναι συνεχής στο y_o

και αφού αυτό ισχύει για κάθε $y_o\in f(\Delta)$ συμπεραίνουμε πως η $f^{-1}$ είναι συνεχής $\blacksquare$

stranger · #8

Εδώ αξίζει να σημειώσουμε ένα γνωστό θεώρημα του απειροστικού λογισμού που λέει ότι όχι μόνο τα πλευρικά όρια μιας μονότονης συνάρτησης πάντα υπάρχουν αλλά το πλήθος των σημείων ασυνέχειας της είναι αριθμήσιμο.

Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Re: Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Re: Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Re: Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Re: Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Re: Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Re: Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Re: Συνέχεια αντίστροφης συνεχούς με Γ' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση