Για κατασκευαστές.

[Φανης Θεοφανιδης]

610.png (9.1 KiB) Προβλήθηκε 1985 φορές

Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι άνισων ακτίνων και , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο .
Κατασκευάστε γεωμετρικά ισόπλευρο τρίγωνο με και .

[S.E.Louridas]

Δίνονται δύο κύκλοι άνισων ακτίνων και , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο .
Κατασκευάστε γεωμετρικά ισόπλευρο τρίγωνο με και .

Απλά μία άποψη.

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ( καταρχάς το στο ημιεπίπεδο με βάση την ευθεία που ανήκει το ) αν ως
θεωρήσουμε το κέντρο του κύκλου . Τότε τα τρίγωνα προκύπτουν ίσα. Άρα παίρνουμε
Επομένως το σημείο είναι η τομή των κύκλων

κατασ.png (46.81 KiB) Προβλήθηκε 1959 φορές

[S.E.Louridas]

Δίνονται δύο κύκλοι άνισων ακτίνων και , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο .
Κατασκευάστε γεωμετρικά ισόπλευρο τρίγωνο με και .

Και μία άποψη ... χωρίς λέξεις ...

ka2.png (61.9 KiB) Προβλήθηκε 1935 φορές

[Doloros]

610.png



Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι άνισων ακτίνων και , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο .
Κατασκευάστε γεωμετρικά ισόπλευρο τρίγωνο με και .

Ας είναι η τομή των . Τα τετράπλευρα είναι χαρταετοί . Είναι επομένως:

Για κατασκευές.png (39.41 KiB) Προβλήθηκε 1929 φορές

.

Συνεπώς το προσδιορίζεται ως τομή του Απολλώνιου Κύκλου για κάθε σημείο του οποίου ισχύει:


Και σε τόξο χορδής που δέχεται γωνία .

Για κατασκευές_κατασκευή.png (42.08 KiB) Προβλήθηκε 1917 φορές

[Doloros]

610.png



Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι άνισων ακτίνων και , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο .
Κατασκευάστε γεωμετρικά ισόπλευρο τρίγωνο με και .

Και μια κατασκευή εντός φακέλου .

Για κατασκευές_κατασκευή_1.png (34.51 KiB) Προβλήθηκε 1908 φορές

Γράφω το ισόπλευρο τρίγωνο ,νότια . περιγράφω κύκλο σ αυτό. Ενώνω το νότιο πόλο με το η προέκταση του

Τέμνει αυτό τον κύκλο στο . Οι τέμνουν τους δεδομένους κύκλους , εν γένει σε δύο σημεία η κάθε μια .

Το κοντινότερο προς το του μεγάλου κύκλου με το πιο μακρινό του μικρού είναι τα σημεία που θέλω.

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

610.png



Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι άνισων ακτίνων και , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο .
Κατασκευάστε γεωμετρικά ισόπλευρο τρίγωνο με και .

Το είναι ισόπλευρο και η τέμνει τους κύκλους στα ζητούμενα σημεία

Κατασκευή.png (26.02 KiB) Προβλήθηκε 1910 φορές

[Ανδρέας Πούλος]

Κι αυτή είναι μια λύση που προέκυψε μετά από υπολογισμούς γωνιών.
Η ιδέα της είναι η κατασκευή των δύο ισόπλευρων τριγώνων που φαίνονται στο συνημμένο σχήμα.

[S.E.Louridas]

Μετά και τη παρέμβαση του Ανδρέα Πούλου (τεράστια και συνεχής η προσφορά του στο "άθλημα μας") ας μου επιτραπεί να αναφέρω για το πρόβλημα αυτό ότι δεν χρειάζεται να έχουμε εφαπτόμενους κύκλους αλλά ταυτόχρονα να είμαστε υπ' ατμόν για άνοιγμα στην σπουδαία μαθηματική διαδικασία της Διερεύνησης.

[Ανδρέας Πούλος]

Σωτήρη, αυτό διαπίστωσα κι εγώ σε σχέση με τη συνθήκη επαφής των δύο κύκλων.
Η δική μου ιδέαγια στη λύση βασίστηκε στο γεγονός ότι αν φέρουμε την κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων,
θα έχουμε χρήση του γνωστού θεωρήματος "γωνίας χορδής και εφαπτομένης", το οποίο κάποιοι άσχετοι στο Ι.Ε.Π.
το εξαφάνισαν μαζί με ολόκληρο το 6ο κεφάλαιο για τα τετράπλευρα σε κύκλο. Και είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο για την Α τάξη ΓΕ.Λ.
Με χρήση αυτού του θεωρήματος όλες οι γωνίες του σχήματος υπολογίζονται με μία μόνο μεταβλητή γωνία.
Έτσι, καταλήγουμε σε "κρυφές" γωνίες των μοιρών.
Θα δώσω αύριο στον Όμιλο του Σχολείου μου αυτό το πρόβλημα - διότι λύνουμε και προβλήματα κατασκευών - όπως και στη τάξη,
για να φανεί η αξία της φάσης της Ανάλυσης, η οποία για το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι το 90% της επίλυσης του.
Φυσικά, και η διερεύνηση έχει το ενδιαφέρον της, αν οι κύκλοι είναι εφαπτόμενοι και ίσοι (η απλούστερη περίπτωση),
αν ο ένας κύκλος έχει μηδενική ακτίνα (ας το έχουν κι αυτό υπόψη τους οι μαθητές)
και το κυριότερο αυτό που τόνισες αν το πρόβλημα επιλύεται και πώς στην περίπτωση που οι κύκλοι δεν είναι εφαπτόμενοι.

[Ανδρέας Πούλος]

Σήμερα που λύσαμε το θέμα αυτό στον Όμιλο,
στους μαθητές η πιο απλή και κατανοητή λύση τους φάνηκε αυτή του Μιχάλη Τσουρακάκη.
Επίσης, διαπίστωσαν ότι είναι εύκολο το πρόβλημα αν οι κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες
και για πιο λόγο ο κατασκευαστής ζήτησε ακτίνες άνισες.

[Φανης Θεοφανιδης]

Αφού σας ευχαριστήσω όλους για τον χρόνο σας, να θέσω και ένα ερώτημα ακόμη.
Τι συμβαίνει αν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά;

[Ανδρέας Πούλος]

Πάλι η ίδια τεχνική εφαρμόζεται,
όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα.

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Αφού σας ευχαριστήσω όλους για τον χρόνο σας, να θέσω και ένα ερώτημα ακόμη.
Τι συμβαίνει αν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά;

Αν η ακτίνα του μεγάλου κύκλου,φτιάχνουμε το ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς

Η τέμνει τον κύκλο στο και είναι συμμετρικό του ως προς που προφανώς ανήκει στον μικρό κύκλο αφού το

είναι το κέντρο του.

Προφανές τώρα ότι το είναι ισόπλευρο.

ισόπλευρο.png (20.71 KiB) Προβλήθηκε 1651 φορές