ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Δευ Φεβ 05, 2024 10:47 am
ΑΣΚΗΣΗ 1287 Σε κάποιες εκλογές για την ανάδειξη μιας τριμελούς επιτροπής, υπήρχαν τέσσερις υποψήφιοι , οι Α,Β,Γ,Δ.
Κάθε ψηφοφόρος μπορούσε να ψηφίσει το πολύ τρεις υποψήφιους. Μετά την καταμέτρηση των ψήφων, έλαβαν:
Ο Α
, ο Β
, ο Γ
και ο Δ
ψήφους, ενώ δεν υπήρχαν άκυρα ούτε λευκά.
(α) Να βρείτε πόσοι τουλάχιστον ήταν οι ψηφοφόροι.
(β) Αν οι ψηφοφόροι ήταν όσους βρήκατε στο (α) ερώτημα, και αν δεν υπήρξε ψηφοφόρος που να ψήφισε την τριάδα (Β,Γ,Δ), να βρείτε
πόσοι τουλάχιστον και πόσοι το πολύ από αυτούς ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ);
Γράφω μια λύση:
(α) Όλοι οι σταυροί ήταν συνολικά 68
Για να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό των ψηφοφόρων, πρέπει να υποθέσουμε ότι όσο το δυνατόν περισσότεροι ψήφισαν και τους τρεις υποψήφιους.
Επειδή τώρα
, αυτό σημαίνει ότι για να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό που ζητάμε, θα θεωρήσουμε ότι
άτομα
ψήφισαν και τους τρεις από τους τέσσερις υποψήφιους, ενώ ένα μόνο άτομο ψήφισε τους δύο από τους τέσσερις.
Άρα ο ελάχιστος αριθμός των ψηφοφόρων ήταν
(β)Έχουμε σαν δεδομένο, ότι οι ψηφοφόροι ήταν
.
Θα διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
(1).
άτομα ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ) ,
άτομα την (Α,Β,Δ) ,
άτομα την (Α,Γ,Δ) ενώ ο ένας το ζεύγος (Γ,Δ)
Τότε έχουμε το σύστημα:
Από τις τρεις πρώτες εξισώσεις, άμεσα βρίσκουμε ότι
, και ότι με τις τιμές αυτές επαληθεύεται και η τέταρτη εξίσωση.
Άρα σε αυτή την περίπτωση, την τριάδα (Α,Β,Γ) την ψήφισαν
άτομα.
(2).
άτομα ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ) ,
την (Α,Β,Δ) ,
την (Α,Γ,Δ) ενώ ο ένας το ζεύγος (Β,Δ)
Τότε έχουμε έχουμε το σύστημα:
Και άμεσα βρίσκουμε ότι έχει την λύση
Άρα σε αυτή την περίπτωση, την τριάδα (Α,Β,Γ) την ψήφισαν επίσης
άτομα.
(3).
άτομα ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ) ,
την (Α,Β,Δ) ,
την (Α,Γ,Δ) ενώ ο ένας το ζεύγος (Β,Γ)
Τότε ομοίως βρίσκουμε ότι το σύστημα που θα προκύψει έχει την λύση
Άρα σε αυτήν την περίπτωση , την τριάδα (Α,Β,Γ) την ψήφισαν
άτομα.
(4)
άτομα ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ) ,
την (Α,Β,Δ) ,
την (Α,Γ,Δ) ενώ ο ένας το ζεύγος (Α,Β)
Τότε έχουμε το σύστημα:
Λύνοντας το σύστημα των τριών πρώτων εξισώσεων άμεσα βρίσκουμε
Αντικαθιστώντας όμως τις τιμές αυτές στην τέταρτη εξίσωση, παίρνουμε
και άρα η περίπτωση αυτή απορρίπτεται
Όμοια απορρίπτονται και οι περιπτώσεις όπου το ένα άτομο ψήφησε τα ζεύγη (Α,Γ) ή (Α,Δ)
Άρα η τριάδα (Α,Β,Γ) έλαβε τουλάχιστον
και το πολύ
ψήφους