Σύνολο τιμών της συνάρτησης

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 28, 2023 2:26 am
Βρείτε τους αριθμούς $k\in \mathbb{R}$ , έτσι ώστε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

$f\left( x \right)=\displaystyle\dfrac{{{x}^{2}}-kx+1}{{{x}^{2}}+1}$ να είναι το διάστημα $\left[ -1,\,\,3 \right]$ .

Μια άποψη ( πιστεύω δεν έχω κάνει «πατάτα»)

$f\left( x \right) = 1 - \dfrac{{kx}}{{{x^2} + 1}}\,,\,\,x \in \mathbb{R}$ . $f\left( 0 \right) = 1$ που ανήκει στο διάστημα που θέλω.

Η απαίτηση , $- 1 \leqslant f\left( x \right) \leqslant 3 \Leftrightarrow - 2 \leqslant \dfrac{{kx}}{{{x^2} + 1}} \leqslant 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| k \right|\left| x \right|}}{{{{\left| x \right|}^2} + 1}} \leqslant 2$ . Για $x \ne 0$ η προηγούμενη γράφεται:

$\left| k \right| \leqslant 2\left( {\left| x \right| + \dfrac{1}{{\left| x \right|}}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά για κάθε $x \ne 0$ , $\left| x \right| + \dfrac{1}{{\left| x \right|}} \geqslant 2$ $\left( 2 \right)$ .

Συνεπώς για να είναι συμβατές οι πιο πάνω θα ισχύει ταυτόχρονα το «

» , δηλαδή :

$\,\,\left| k \right| = 4 \Leftrightarrow \,\,k = 4$ είτε k = - 4

.

#3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 28, 2023 2:26 am
Βρείτε τους αριθμούς $k\in \mathbb{R}$ , έτσι ώστε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

$f\left( x \right)=\displaystyle\frac{{{x}^{2}}-kx+1}{{{x}^{2}}+1}$ να είναι το διάστημα $\left[ -1,\,\,3 \right]$ .

Έστω $\displaystyle \frac{{{x^2} - kx + 1}}{{{x^2} + 1}} = y \Leftrightarrow (y - 1){x^2} + kx + y - 1 = 0$ (1)

$\displaystyle \bullet$ Αν y=1

τότε

$\displaystyle \bullet$ Αν $y\ne 1,$ τότε για να έχει λύση η, δευτεροβάθμια ως προς

εξίσωση

θα πρέπει $\Delta\ge 0.$

$\displaystyle {k^2} - 4{(y - 1)^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow 2|y - 1| \leqslant |k| \Leftrightarrow - \frac{{|k|}}{2} + 1 \leqslant y \leqslant \frac{{|k|}}{2} + 1$

Άφού όμως θέλουμε το σύνολο τιμών να είναι το [-1,3],

τότε θα είναι $\boxed{k=-4}$ ή $\boxed{k=4}$

#4

$\displaystyle{f(x)=1-k\frac{x}{x^2+1}=1-kg(x)}$ όπου $\displaystyle{g(x)=\frac{x}{x^2+1}}$

$\displaystyle{g'(x)=\frac{1-x^2}{x^2+1}}$ kai από τον πίνακα μονοτονίας ευκολία βλέπουμε

ότι $\displaystyle{max g(x)=g(1)=1/2, min g(x)=g(-1)=-1/2}$ , $\displaystyle{-g(-x)=g(x)}$ αρα

Eστω $\displaystyle{ -k>0}$ και όμοια αν $\displaystyle{k<0}$ τότε

$\displaystyle{max -kg(x)=-kg(1)=-k 1/2,min -kg(x)=-kg(-1)=kg(1)=k 1/2}$

Θέλουμε $\displaystyle{-k/2+1=3,k/2+)+(-1)=1}$

Συνεπως $\displaystyle{k=-4}$ και όμοια $\displaystyle{k=4}$

Σύνολο τιμών της συνάρτησης

Σύνολο τιμών της συνάρτησης

Re: Σύνολο τιμών της συνάρτησης

Re: Σύνολο τιμών της συνάρτησης

Re: Σύνολο τιμών της συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση