Ο δακτύλιος των ακεραίων του Gauss ικανοποιεί μια καθολική ιδιότητα

TrItOs · #1

Χρειάζομαι βοήθεια στο ακόλουθο πρόβλημα άλγεβρας:

Πρόβλημα: Έστω

ένας δακτύλιος ο οποίος έχει ένα στοιχείο $a \in R$ ώστε $a^{2}=-1_{R}$ .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός δακτύλιος ομομορφισμών $\varphi : \mathbb{Z} [ i ] \longrightarrow R$ έτσι ώστε $\varphi ( i ) = a$ .

Σημειώνουμε ότι:
$\mathbb{Z} [ i ]$ συμβολίζουμε τον δακτύλιο των ακεραίων του Gauss, όπου $\mathbb{Z} [ i ] = \big \{ a + b i : a , b \in \mathbb{Z} \big \}$ με $i^{2}=-1$ η φανταστική μόναδα
ή διαφορετικά
είναι ο δακτύλιος πηλίκο $\mathbb{Z} [ x ] / < x^{2} + 1 > \cong \mathbb{Z} [ i ]$ , όπου $\mathbb{Z} [ x ]$ είναι ο δακτύλιος των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και $< x^{2} + 1 > = \big \{ (x^{2} + 1) f ( x ) : f ( x ) \in \mathbb{Z} [ x ] \big \}$ το ιδεώδες που παράγεται από το πολυώνμο $x^{2} + 1$ .

Σας παρακαλώ μπορείτε να με βοηθήσετε με την λύση, σας ευχαριστώ πολύ.

BAGGP93 · #2

Αρχικό Σχόλιο: Αν $S,\,S'$ είναι δύο μοναδιαίοι προσεταιριστικοί δακτύλιοι τότε για κάθε μοναδιαίο ομομορφισμό $\phi\colon S\to S'$ ισχύει

$\displaystyle{\phi(k\,1_{S})=k\,1_{S'}\,}$ για κάθε $k\in\bb Z.$ Αυτή η σχέση προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι $\phi(-1_{S})=-\phi(1_{S})=-1_{S'}$ και από την

προσθετικότητα της $\phi.$ Έπεται λοιπόν ότι η $\phi$ είναι $\mathbb{Z}$ -γραμμική καθώς

$\displaystyle{\phi(x+k y)=\phi(x)+\phi(k y)=\phi(x)+\phi(k 1)\,\phi(y)=\phi(x)+k\,\phi(y),\,\,\forall\,x,\,y\in S,\,k\in\mathbb{Z}.}$

Πίσω στο πρόβλημα: Παρατήρησε ότι ο δακτύλιος $\mathbb{Z}_{i}$ σαν $\mathbb{Z}$ -πρότυπο παράγεται από τα στοιχεία

και

.

Κάθε μοναδιαίος ομομορφισμός $\phi\colon \mathbb{Z}_{i} \to R$ καθορίζεται πλήρως και μοναδικά από τις τιμές $\phi(1)$ και $\phi(i)$ .

Ορίζοντας $\phi(1)=1_{R}$ και $\phi(i)=a$ και επεκτείνοντας $\mathbb{Z}$ -γραμμικά έχεις το ζητούμενο.

Edit: Έχω θεωρήσει

μεταθετικός. Αν όχι είμαι λάθος.

Ο δακτύλιος των ακεραίων του Gauss ικανοποιεί μια καθολική ιδιότητα

Ο δακτύλιος των ακεραίων του Gauss ικανοποιεί μια καθολική ιδιότητα

Re: Ο δακτύλιος των ακεραίων του Gauss ικανοποιεί μια καθολική ιδιότητα

Μέλη σε σύνδεση