Μια κοινή εφαπτομένη

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 07, 2023 9:35 pm
Κοινή εφαπτομένη.png

Δίνονται κύκλος διαμέτρου , σημείο του και κάθετη στην . Με

διαμέτρους τα και γράφουμε κύκλους οι οποίοι τέμνουν την στο

και την στο . Να δειχθεί ότι η είναι κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων.

: Μια κοινή εφαπτομένη.png (24.58 KiB) Προβλήθηκε 1309 φορές

Το τετράπλευρο CZDE

είναι ορθογώνιο και ας είναι

το κοινό σημείο των ίσων διαγωνίων του .

Επειδή η

εφάπτεται των δύο μικρών κύκλων και $TD = TE\, = TZ$ ,

συνεπώς τα $TE\,\,,\,\,TZ$ είναι κι αυτά εφαπτόμενα τμήματα στους δυο μικρούς κύκλους.

Αλλά τα E,T,Z

ανήκουν σε μια ευθεία , την

που είναι εφαπτομένη στους δυο μικρούς κύκλους

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

STOPJOHN · #4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 07, 2023 9:35 pm
Κοινή εφαπτομένη.png

Δίνονται κύκλος διαμέτρου , σημείο του και κάθετη στην . Με

διαμέτρους τα και γράφουμε κύκλους οι οποίοι τέμνουν την στο

και την στο . Να δειχθεί ότι η είναι κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων.

Προφανώς το τετράπλευρο EDZC

είναι ορθογώνιο και απο μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα

ACD,CDB

είναι $AC.EC=CD^{2} =EZ^{2}=CZ.CB$

Οπότε το τετράπλευρο AEZB

είναι εγγράψιμο σε κύκλο και $\hat{EZC}=\hat{CAB}=\hat{ZED}$ Αρα η

εφάπτεται στον κύκλο (M)

Oμοίως για τον κύκλο (N)

Henri van Aubel · #5

Καλημέρα.

Από θ. προβολών στα ορθογώνια τρίγωνα ADC

,

παίρνουμε $CE\cdot CA=CD^{2}=CZ\cdot CB.$

Δηλ. ABZE

εγγράψιμο οπότε $\angle AEM+\angle CEZ=\angle AEM+\angle CBA=\angle CAB+\angle CBA=90^\circ.$

Δηλ. $\angle ZEM=90^\circ.$ Ομοίως δείχνουμε ότι $\angle EZN=180^\circ-(\angle BZN+\angle CZE)=180^\circ-(\angle CBA+\angle CAB)=90^\circ.$

We are done ...

Μια κοινή εφαπτομένη

Μια κοινή εφαπτομένη

Re: Μια κοινή εφαπτομένη

Re: Μια κοινή εφαπτομένη

Re: Μια κοινή εφαπτομένη

Re: Μια κοινή εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση