ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

Για την άσκηση στο συνημμένο 335:

Τα τρίγωνα είναι ίσα διότι (υπόθεση), (από το εγγράψιμμο ) και (από το εγγράψιμμο ). Άρα (δηλαδή ίσες χορδές του επάνω κύκλου), που σημαίνει ότι το είναι στην διχοτόμα της . 'Ομοια το αντίστροφο.

Δεν έχει νόημα να γράφουμε ιστορίες ολόκληρες για θέματα που είναι προφανή, της μισς ή δυο γραμμών. Τα Μαθηματικά θέλουν οικονομία και κομψότητα. Όταν πλατειάζουμε, χάνουμε την ουσία. Το μήνυμα που πρέπει να δώσουμε στους μαθητές μας είναι να εργάζονται με λιτότητα και συμπάγεια. Και θα συνεχίσω να το κάνω γιατί έχω χρέος ως δάσκαλος να δίνω τον μπούσουλα της ορθής Μαθηματικής πρακτικής.
.

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και κυρίως για την παραπάνω λύση του προβλήματος 12(1).

Όσον αφορά στο παραπάνω σχόλιο, έχω να πω τα εξής:
---Σεβαστές όλες οι απόψεις, οι οποίες προφανώς και κρίνονται από τους αναγνώστες.
---Εδώ [γ.τ. 12(1)] πχ δεν πρέπει να εξετασθεί τι συμβαίνει όταν οι κύκλοι τέμνονται εκτός της κυρτής γωνίας χΚψ;
---Στην ερώτηση που έχει προκύψει στο παραπάνω ποστ 115, για την Κατασκευή 1ζ(44), δεν είναι σωστό να δοθεί απάντηση;
---Το πώς φθάνουμε σε μια λύση, δεν χρειάζεται να φαίνεται πως σκεφθήκαμε για να φθάσουμε στη λύση και που δε την είδαμε κάπου αλλού, αλλά και για μαθησιακούς λόγους σε άτομα που έχουν περιορισμένες γνώσεις στο συγκεκριμένο αντικείμενο;
---Δε θα ήθελα να αναφέρω παραδείγματα μαθητών οι οποίοι μου ζητούν να τους δώσω προσωπικά εγώ λύσεις σε προβλήματά τους, γιατί δε τα κατανοούν αλλού. Πολλές φορές τούτο συμβαίνει και σε μένα (Συναντώ κενά σε αποδείξεις-λύσεις άλλων). Γιατί να το αποκρύψομε άλλωστε; κτλ, κτλ.

Λύση του Γεωμετρικού Τόπου 12(1).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 335, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λύση του γ.τ. αυτού.

βασιζόμενοι στο παραπάνω πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά. Αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που το επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 335.doc

(29.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 106 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής.

Αγαπητοί φίλοι,αμέσως παρακάτω προτείνω για λύση ένα άλλο νέο μου Πρόβλημα:
12(2). Από το ένα σημείο τομής, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, να αχθούν δύο ίσες με δοσμένο τμήμα, τέμνουσες τους δοσμένους κύκλους.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

[Mihalis_Lambrou]

Από το ένα σημείο τομής, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, να αχθούν δύο ίσες με δοσμένο τμήμα, τέμνουσες τους δοσμένους κύκλους.

Είναι άμεσο: 'Εστω το δοθέν μήκος, οπότε θέλουμε . Αν οι κάθετες από τα κέντρα των κύκλων τέμνουν την ζητούμενη στα , και αν η κάθετος από το τέμνει την στο , τότε . Οπότε το ορθογώνιο τρίγωνο έχει δοθείσα υποτείνουσα και δοθείσα την μία κάθετο , άρα κατασκευάζεται. Το κατασκευάζουμε. Φέρνουμε τώρα παράλληλη της η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των κύκλων. Είναι τώρα σαφές ότι τα σημεία óπου η εν λόγω παράλληλη τέμνει τους κύκλους, δίνουν την ζητούμενη με μήκος .

Για την δεύτερη ζητούμενη χορδή (κόκκινη στο σχήμα) απλά κατασκευάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο να έχει την ορθή γωνία από την άλλη μεριά, δηλαδή "κοντά στην ". H διερεύνηση, αμέση (π.χ. πρέπει και λοιπά).
.

[ΝΙΚΟΣ]

Από το ένα σημείο τομής, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, να αχθούν δύο ίσες με δοσμένο τμήμα, τέμνουσες τους δοσμένους κύκλους.

Είναι άμεσο: 'Εστω το δοθέν μήκος, οπότε θέλουμε . Αν οι κάθετες από τα κέντρα των κύκλων τέμνουν την ζητούμενη στα , και αν η κάθετος από το τέμνει την στο , τότε . Οπότε το ορθογώνιο τρίγωνο έχει δοθείσα υποτείνουσα και δοθείσα την μία κάθετο , άρα κατασκευάζεται. Το κατασκευάζουμε. Φέρνουμε τώρα παράλληλη της η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των κύκλων. Είναι τώρα σαφές ότι τα σημεία óπου η εν λόγω παράλληλη τέμνει τους κύκλους, δίνουν την ζητούμενη με μήκος .

Για την δεύτερη ζητούμενη χορδή (κόκκινη στο σχήμα) απλά κατασκευάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο να έχει την ορθή γωνία από την άλλη μεριά, δηλαδή "κοντά στην ". H διερεύνηση, αμέση (π.χ. πρέπει και λοιπά).
.

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και κυρίως για την παραπάνω λύση του προβλήματος 12(2).

Λύση της Γεωμετρικής Κατασκευής 12(2).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 336, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λύση του Προβλήματος αυτού.

βασιζόμενοι στο παραπάνω πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά. Αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που το επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 336.doc

(33 KiB) Μεταφορτώθηκε 87 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 12(3).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 337, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 337.doc

(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 81 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Στο ποστ #120 αποδεικνύεται ότι το βρίσκεται στην διχοτόμο της δοθείσας γωνίας. Θα δείξουμε ότι το ίδιο συμβαίνει με το , οπότε η είναι η εν λόγω διχοτόμος, η οποία βέβαια διέρχεται από το σταθερό σημείο , την κορυφή της γωνίας. Πράγματι, φέρνουμε τις κάθετες από το προς τις πλευρές της γωνίας.

Αφού τα τρίγωνα και έχουν ίσες τις γωνίες , ισχύει (λόγος εμβαδών). Άρα

.

Από την πρώτη και την τελευταία έχουμε , δηλαδή , από όπου έπεται ότι το είναι στην διχοτόμο, όπως θέλαμε.

Ας σχολιάσω ότι σχεδιάσα τα , όπως και τα στο ποστ #120, με συγκεκριμένη διάταξη. Με άλλη διάταξη μπορεί να τέμνονται στην άλλη διχοτόμο. Αλλά προσοχή, αφού τα και είναι ανεξάρτητα τα μεν των δε, μπορεί να έχουμε το φαινόμενο τα να είναι σε διαφορετικές διχοτόμους. Σε αυτή την περίπτωση δεν ισχύει το ζητούμενο της άσκησης. Θεώρησα ότι οι διατάξεις των σημείων είναι παρόμοιες.
.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 12(3).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 337, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
Συνημμένο 337.doc

Απόδειξη της Πρότασης 12(3).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 337, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου απόδειξη της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 337.doc

(34 KiB) Μεταφορτώθηκε 76 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νεα Γεωμετρική Πρόταση 4η(1).

Αγαπητοί φίλοι,αμέσως παρακάτω προτείνω για απόδειξη μία Νεα μου Γεωμετρική Πρόταση:
4η(1). Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο ειδικό εξάπλευρο, το οποίο έχει κάθετες τις πλευρές δύο ζευγών απέναντι πλευρών του, έχει παράλληλες τις πλευρές του τρίτου ζεύγους απέναντι πλευρών του με την ευθεία Pascal του εξάπλευρου.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά 12 ημέρς, λόγω αποσίασ μου.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

[Mihalis_Lambrou]

4η(1). Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο ειδικό εξάπλευρο, το οποίο έχει κάθετες τις πλευρές δύο ζευγών απέναντι πλευρών του, έχει παράλληλες τις πλευρές του τρίτου ζεύγους απέναντι πλευρών του με την ευθεία Pascal του εξάπλευρου.

.
Στο εξάγωνο έχουμε και θέλουμε να απoδείξουμε ότι .

Θα χρειαστούμε τις ισότητες γωνιών (από το εγγράψιμο ), (από το εγγράψιμο ) και (από το εγγράψιμο ).

Για την ζητιούμενη παραλληλία αρκεί να αποδείξουμε ότι . Προς τούτο έχουμε

, όπως θέλαμε.

Για την παραλληλία της με την ευθεία Pascal, που είναι η στο σχήμα, έχουμε από τα εγγράψιμα ότι γωνίες , από όπου το ζητούμενο. (Ας σχολιάσω ότι η παραλληλία αυτή αποδεικνύεται πιο εύκολα με όρους Προβολικής Γεωμετρίας αλλά προτίμησα τον κλασσικό τρόπο για να μείνουμε στην Ευκλείδεια. Με Προβολική έχουμε: Οι τέμνονται στην Pascal. Αλλά ως παράλληλες, τέμνοται στο επ' άπειρον σημείο. Άρα η Pascal και οι δύο προηγούμενες συντρέχουν στο επ' άπειρον σημείο, και άρα είναι παράλληλες μεταξύ τους.)
.

[Mihalis_Lambrou]

Αξίζει να προσθέσω δύο μικρά σχόλια στο προηγούμενό μου ποστ.

α) Η υπόθεση της άσκησης ήταν ότι οι γωνίες που σχηματίζουν οι και είναι ορθές. Μία μικρή γενίκευση αυτού (που μας αρκεί για τα αποδεικτέα) είναι να υποθέσουμε ότι οι εν λόγω γωνίες είναι ίσες (όχι κατ' ανάγκη ορθές). Η απόδειξη που έδωσα, λέξη προς λέξη, περιλαμβάνει και αυτή την περίπτωση.

β) Στην προηγούμενη απόδειξη έδειξα απευθείας την παραλληλία των και μετά την παραλληλία μιας εκ των δύο με την ευθεία Pascal . Είναι λίγο πιο εύκολο να δείξουμε απευθείας την παραλληλία κάθε μιας από τις με την (ισχύει και στην περίπτωση της γενίκευσης που μόλις ανέφερα). Πράγματι, για την ήδη υπάρχει στην λύση μου. Για την λέμε: (από το εγγράψιμο ) και η είναι ίση με την εξωτερική (από το εγγράψιμο ). Άρα γιατί έχουν ίσες τις εντός εναλλάξ γωνίες με διατέμνουσα την , όπως θέλαμε.

[ΝΙΚΟΣ]

Νεα Γεωμετρική Πρόταση 4η(1).

Αγαπητοί φίλοι,αμέσως παρακάτω προτείνω για απόδειξη μία Νεα μου Γεωμετρική Πρόταση:
4η(1). Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο ειδικό εξάπλευρο, το οποίο έχει κάθετες τις πλευρές δύο ζευγών απέναντι πλευρών του, έχει παράλληλες τις πλευρές του τρίτου ζεύγους απέναντι πλευρών του με την ευθεία Pascal του εξάπλευρου.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά 12 ημέρς, λόγω αποσίασ μου.


Νίκος Κυριαζής.

Απόδειξη της Πρότασης 4η(1).

Αγαπητοί φίλοι,

Με τα παρακάτω συνημμένα μου 4η(1) και 4η(1)α, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου απόδειξη της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σάρωση 4η(1)..jpg (496.43 KiB) Προβλήθηκε 9493 φορές

Σάρωση 4η(1)α..jpg (376.7 KiB) Προβλήθηκε 9493 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέος Γεωμετρικός Τόπος 7ι(4).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 339, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 339.doc

(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 123 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέος Γεωμετρικός Τόπος 7ι(4).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 339, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Συνημμένο 339.doc

Λήμμα 7ι(1).

Αγαπητοί φίλοι,
παρακάτω με το συνημμένο μου 340 αναρτώ μια άλλη νέα μου βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) 7ι(1), αντί να αναρτήσω τη λύση του γ.τ.7ι(4), όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί. Τούτο έκρινα σκόπιμο γιατί στο Λήμμα αυτό θα βασισθεί η λύση μου του γ.τ. 7ι(4).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του παραπάνω λήμματος και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Λήμμα 7ι(1), θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που το επινόησα και το προτείνω παρά την ευκολη απόδειξή του.

Δική μου σχετική απόδειξη του λήμματος 7ι(1), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 340.doc

(21.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 137 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέος Γεωμετρικός Τόπος 7ι(4).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 339, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Συνημμένο 339.doc

Λήμμα 7ι(1).

Αγαπητοί φίλοι,
παρακάτω με το συνημμένο μου 340 αναρτώ μια άλλη νέα μου βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) 7ι(1), αντί να αναρτήσω τη λύση του γ.τ.7ι(4), όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί. Τούτο έκρινα σκόπιμο γιατί στο Λήμμα αυτό θα βασισθεί η λύση μου του γ.τ. 7ι(4).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του παραπάνω λήμματος και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου σχετική απόδειξη του λήμματος 7ι(1), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Συνημμένο 340.doc

Απόδειξη της Πρότασης 7ι(1).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 340, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που την επινόησα [Σημειώνω ότι η Πρόταση 5θ(155) Βρίσκεται παραπάνω (ποστ 111), ενώ οι 7ι(1)-7ι(4), 7ι(6)-7ι(8), 7ι(195)-7ι(198 στο βιβλίο μου"Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας"].

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=62&t=56328
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 340.doc

(113.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 150 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέος Γεωμετρικός Τόπος 7ι(4).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 339, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Συνημμένο 339.doc

Λύση του Γεωμετρικού Τόπου 7Ι(4).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 339, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λύση του γ.τ. αυτού, η οποία βασίζεται στην παραπάνω πρόταση 7Ι(1), ποστ.134.

βασιζόμενοι στον παραπάνω γ,τ,, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά. Αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που τον επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Υπενθυμίζω ότι οι 7ι(1), 7ι(4), 7ι(6) 7ι(22), 7ι(196), τόμος 7, αποτελούν νέες Προτάσεις- Προβλήματα - γ.τ, κτλ. του γράφοντος, τις οποίες πρωτοεμφάνισα στα βιβλία μου ¨Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας¨, κτλ, αποτελούν μέρος από τις 4.500 περίπου που έχω επινοήσει κατά το παρελθόν. Στόχος μου είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσω στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες μπορέσω και όχι τόσο η συμμετοχή. Παρόλα αυτά οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις-λύσεις και ακόμη να κάνουν τις δικές τους επεκτάσεις-γενικεύσεις και τα δικά τους σχόλια.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=22&t=74420&p=360592#p360592
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 339.doc

(26 KiB) Μεταφορτώθηκε 82 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέος Γεωμετρικός Τόπος 7ι(4).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 339, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Συνημμένο 339.doc

Λύση του Γεωμετρικού Τόπου 7Ι(4).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 339, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λύση του γ.τ. αυτού, η οποία βασίζεται στην παραπάνω πρόταση 7Ι(1), ποστ.134.

βασιζόμενοι στον παραπάνω γ,τ,, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά. Αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που τον επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Υπενθυμίζω ότι οι 7ι(1), 7ι(4), 7ι(6) 7ι(22), 7ι(196), τόμος 7, αποτελούν νέες Προτάσεις- Προβλήματα - γ.τ, κτλ. του γράφοντος, τις οποίες πρωτοεμφάνισα στα βιβλία μου ¨Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας¨, κτλ, αποτελούν μέρος από τις 4.500 περίπου που έχω επινοήσει κατά το παρελθόν. Στόχος μου είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσω στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες μπορέσω και όχι τόσο η συμμετοχή. Παρόλα αυτά οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις-λύσεις και ακόμη να κάνουν τις δικές τους επεκτάσεις-γενικεύσεις και τα δικά τους σχόλια.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=22&t=74420&p=360592#p360592
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 339.doc

(26 KiB) Μεταφορτώθηκε 111 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 7ι(2).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 343, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δύο δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=22&t=74420&p=360592#p360592
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 343.doc

(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 75 φορές

[Mihalis_Lambrou]

(343). Eίναι απλό: Για την εσωτερική διχοτόμο (όμοια για την εξωτερική) πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις ισότητες



που προκύπτουν από το θεώρημα της διχοτόμου στα τρίγωνα , αντίστοιχα. Τελειώσαμε.

Υ.Γ. Μήπως τα ποστ #135, #136 (και το συνημμένο τους 339) είναι εκ παραδρομής ολόϊδια; Δεν βλέπω κάποια διαφορά, αλλά ίσως κάνω λάθος.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 7ι(2).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 343, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δύο δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Συνημμένο 343.doc

Δύο Αποδείξεις της Πρότασης 7ι(2).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 343, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ όπως έχω υποσχεθεί, τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Υπενθυμίζω ότι τις Προτάσεις 5θ(155), 7ι(1) και τα σχήματα 7ι(1), 7ι(3)], που αναφέρονται στο συνημμένο 343, θα τα βρείτε παραπάνω, πόστ 111, 134, συνημμένα 332, 340, αντίστοιχα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=22&t=74420&p=360592#p360592
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 343.doc

(32 KiB) Μεταφορτώθηκε 76 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(56).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 349, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δύο δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=112&t=5636&start=160
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 349.doc

(17.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 82 φορές