Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

#1

Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ όταν γνωρίζουμε:
Τα μήκη $\displaystyle{(AB)=m}$ και $\displaystyle{(AC)=n }$ και ότι είναι $\displaystyle{h_a=R}$
όπου $\displaystyle{h_a}$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{a}$ και
$\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό.

Αφορμή το πρόβλημα 4 του συνδέσμου:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=74101

S.E.Louridas · #2

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 27, 2023 10:06 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ όταν γνωρίζουμε:
Τα μήκη $\displaystyle{(AB)=m}$ και $\displaystyle{(AC)=n }$ και ότι είναι $\displaystyle{h_a=R}$
όπου $\displaystyle{h_a}$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{a}$ και
$\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό.

Θέτω τη λύση μου σε απόκρυψη της οποίας θα κάνω άρση για να φανεί η ημέτερη διαπραγμάτευση μετά την παρέμβαση του Νίκου

Από $\displaystyle{AB \cdot AC = 2R{h_a} \Rightarrow {R^2} = \frac{{mn}}{2},}$ κατασκευάζεται η ακτίνα

οπότε η ζητούμενη κατασκευή είναι πλέον εύκολη ξεκινώντας από τον κύκλο.

edit: Απλά τήρησα την υπόσχεση μου για άρση της απόκρυψης αφού ήδη υπάρχει και η παρέμβαση του Νίκου

#3

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 27, 2023 10:06 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ όταν γνωρίζουμε:
Τα μήκη $\displaystyle{(AB)=m}$ και $\displaystyle{(AC)=n }$ και ότι είναι $\displaystyle{h_a=R}$
όπου $\displaystyle{h_a}$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{a}$ και
$\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό.

Αφορμή το πρόβλημα 4 του συνδέσμου:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=74101

Πρώτα κατασκευάζω την ακτίνα :

για την οποία ${R^2} = \dfrac{m}{2}n$

: Κατασκευή με αφορμή_new_a.png (6.95 KiB) Προβλήθηκε 1212 φορές

Γράφω τώρα τον κύκλο $\left( {O,R} \right)$ και θεωρώ σημείο του

. Τοποθετώ σ αυτόν τη χορδή AB = m

.

Γράφω τώρα τον $\left( {A,R} \right)$ και από το

φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα , $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE\,$ σ αυτόν .

: Κατασκευή με αφορμή_new_b.png (22.65 KiB) Προβλήθηκε 1212 φορές

Οι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE$ επανατέμνουν τον $\left( {O,R} \right)$ στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C'$ .

Αν R < m < 2R

έχω αν γένει δύο διαφορετικές λύσεις : $\vartriangle ABC$ οξυγώνιο και $\vartriangle ABC'$ αμβλυγώνιο

#4

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 27, 2023 10:06 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ όταν γνωρίζουμε:
Τα μήκη $\displaystyle{(AB)=m}$ και $\displaystyle{(AC)=n }$ και ότι είναι $\displaystyle{h_a=R}$
όπου $\displaystyle{h_a}$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{a}$ και
$\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό.

Αφορμή το πρόβλημα 4 του συνδέσμου:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=74101

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 28, 2023 12:43 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 27, 2023 10:06 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ όταν γνωρίζουμε:
Τα μήκη $\displaystyle{(AB)=m}$ και $\displaystyle{(AC)=n }$ και ότι είναι $\displaystyle{h_a=R}$
όπου $\displaystyle{h_a}$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{a}$ και
$\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό.

Αφορμή το πρόβλημα 4 του συνδέσμου:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=74101
Πρώτα κατασκευάζω την ακτίνα : για την οποία ${R^2} = \dfrac{m}{2}n$

Γράφω τώρα τον κύκλο $\left( {O,R} \right)$ και θεωρώ σημείο του . Τοποθετώ σ αυτόν τη χορδή .

Γράφω τώρα τον $\left( {A,R} \right)$ και από το φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα , $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE\,$ σ αυτόν .

Οι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE$ επανατέμνουν τον $\left( {O,R} \right)$ στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C'$ .

Αν έχω αν γένει δύο διαφορετικές λύσεις : $\vartriangle ABC$ οξυγώνιο και $\vartriangle ABC'$ αμβλυγώνιο

Σωτήρη και Νίκο καλησπέρα σας...όχι από Γρεβενά, αλλά από το Reinach της Βασιλείας όπου
εδώ και δυο χρόνια διαβιώ.

Ευχαριστώ που ασχοληθήκατε με τον προβληματισμό που έθεσα και θέλω να πω τα εξής:

Η λύση του Σωτήρη σύντομη και σαφής!

Η επεξεργασία του Νίκου είναι είναι αυτή που έχει ανάγκη η Γεωμετρία, ιδιαίτερα στην τάξη, και το σχήμα του είναι τέτοιο που
εμφανίζει το "τελετουργικό" της όλης κατασκευής.

Συνεχίζοντας θα ήθελα να θέσω ένα πρώτο ερώτημα:

Γιατί όλα αυτά τα τρίγωνα έχουν τη γωνία $\displaystyle{\widehat{BAC}}$ πάντα οξεία;

Αναρτώ τέλος δυο σχήματα όπου φαίνεται ότι το πρόβλημα 4 ισχύει και για τα αμβλυγώνια τρίγωνα και όχι
μόνο για τα οξυγώνια όπως δίνεται στην εκφώνηση.

Σχήμα για τα οξυγώνια τρίγωνα

: Πρόβλημα 4.1.png (28.55 KiB) Προβλήθηκε 1151 φορές

Σχήμα για τα αμβλυγώνια τρίγωνα

: Πρόβλημα 4.2.png (32.62 KiB) Προβλήθηκε 1151 φορές

Κι ένα δεύτερο ερώτημα:

Οι δυο περιγεγραμμένοι κύκλοι στα δυο αυτά εγγράψιμα τετράπλευρα είναι ίσοι;

Καλό ξημέρωμα...

Κώστας Δόρτσιος

#5

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 29, 2023 1:22 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 27, 2023 10:06 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ όταν γνωρίζουμε:
Τα μήκη $\displaystyle{(AB)=m}$ και $\displaystyle{(AC)=n }$ και ότι είναι $\displaystyle{h_a=R}$
όπου $\displaystyle{h_a}$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{a}$ και
$\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό.

Αφορμή το πρόβλημα 4 του συνδέσμου:

Συνεχίζοντας θα ήθελα να θέσω ένα πρώτο ερώτημα:

Γιατί όλα αυτά τα τρίγωνα έχουν τη γωνία $\displaystyle{\widehat{BAC}}$ πάντα οξεία;

Καλό ξημέρωμα...

Κώστας Δόρτσιος

Καλημέρα σε όλους!

Αν η $B\widehat AC$ δεν είναι οξεία, τότε $\displaystyle A\widehat DO \geqslant 90^\circ ,$ οπότε δεν μπορεί να είναι

S.E.Louridas · #6

Καλημέρα καλημέρα Κώστα.
Η "παραβατική" μου άποψη στο νέο ερώτημα σου (και μόνο για λόγους πλουραλισμού) είναι:

Ο κύκλος (A,AD)

έχει εφαπτομένη την

που ως εκ τούτου αυτή αφήνει τα σημεία A,O

προς το ίδιο ημιεπίπεδο.
Άρα $\angle BOC \leqslant \pi.$

#7

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 27, 2023 10:06 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ όταν γνωρίζουμε:
Τα μήκη $\displaystyle{(AB)=m}$ και $\displaystyle{(AC)=n }$ και ότι είναι $\displaystyle{h_a=R}$
όπου $\displaystyle{h_a}$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{a}$ και
$\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό.

Αφορμή το πρόβλημα 4 του συνδέσμου:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=74101

Καλησπέρα...

Συνεχίζοντας το διάλογο για τα ερωτήματα που έθεσα θα προσθέσω κι εγώ μια άποψη
για το πρώτο ερώτημα, δηλαδή:

"Γιατί όλα αυτά τα τρίγωνα έχουν τη γωνία $\displaystyle{\widehat{BAC}}$ πάντα οξεία;"

Είναι γνωστό ότι ισχύει:

$\displaystyle{bc=2R^2 (1) }$

Ζητούμε ότι είναι:

$\displaystyle{b^2+c^2 \geq a^2 \ \ (2) }$

Πράγματι από την (1) θα είναι:

$\displaystyle{2bc=4R^2 \geq a^2 \ \(3) }$

γιατί πάντα είναι:

$\displaystyle{a \leq 2R \ \ (4)}$

Έτσι τελικά θα είναι:

$\displaystyle{ b^2+c^2 \geq 2bc=4R^2 \geq a^2 }$

Δηλαδή η γωνία $\displaystyle{\widehat{BAC} }$ γενικώς είναι οξεία.

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

#8

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 10, 2023 5:53 pm

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 27, 2023 10:06 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ όταν γνωρίζουμε:
Τα μήκη $\displaystyle{(AB)=m}$ και $\displaystyle{(AC)=n }$ και ότι είναι $\displaystyle{h_a=R}$
όπου $\displaystyle{h_a}$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{a}$ και
$\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό.

Αφορμή το πρόβλημα 4 του συνδέσμου:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=74101
Καλησπέρα...

..........................
(Συνεχίζεται...)

(Συνέχεια...)

Καλημέρα...

Πριν πάμε παραπέρα θα δώσω κι εγώ μια κατασκευή του τριγώνου αυτού

λίγο διαφορετική από αυτή του Νίκου.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κατασκευή τριγώνου 1α.png (49 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Αφού κατασκευάσουμε κατά τα γνωστά την ακτίνα $\displaystyle{R}$ του περιγεγραμμένου κύκλου

στο τρίγωνο, κατασκευάζουμε τον κύκλο αυτό και από τυχαίο σημείο αυτού $\displaystyle{A}$

φέρουμε τους κύκλους $\displaystyle{C_1(A,m)}$ και $\displaystyle{C_2(A,n)}$ οι οποίοι τέμνουν γενικά τον περιγεγραμμένο

κύκλο σε δυο σημεία ο καθένας.

Έτσι προκύπτουν δυο ζεύγη τριγώνων που μεταξύ των είναι αντίστοιχα αντιρρόπως ίσα. Μελετούμε επομένως

το ένα ζεύγος από αυτά. Δηλαδή το $\displaystyle{(ABC)}$ και το $\displaystyle{(ABC')}$ όπως φαίνονται και στο ανωτέρω σχήμα.

Αυτά είναι τα ζητούμενα γιατί το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\displaystyle{A}$ είναι ίσο με την ακτίνα $\displaystyle{R}$ .

Απόδειξη:
Είναι γνωστό ότι:

$\displaystyle{ (AB)(AC)=2R(AD)\ \ (1) }$

Άρα:

$\displaystyle{ mn=2R(AD) \Rightarrow (AD)=\frac{mn}{2R} \ \ (2) }$

Όμως από τη σχέση που έγραψα στο περιθώριο του σχήματος για συντομία είναι:

$\displaystyle{mn=2R^2 \ \ (3) }$

Έτσι από τις (2) και (3)προκύπτει:

$\displaystyle{ (AD)= R \ \ (4) }$

Όμοια είναι και για το ύψος του δεύτερου τριγώνου, δηλαδή:

$\displaystyle{(AD')=R \ \ (5) }$

Το ίδιο ισχύει και για τα άλλα δυο ζεύγη τριγώνων που ανάφερα, όπως φαίνεται

και στο κατωτέρω σχήμα:

: Κατασκευή τριγώνου 1β.png (47.5 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Διερεύνηση:

Για να τέμνει ο κύκλος $\displaystyle{C_1(A,m)}$ τον κύκλο $\displaystyle{C(O,R)}$ προφανώς θα πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle{m \leq 2R \Rightarrow m \leq 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{mn} \Rightarrow m \leq \sqrt{2}\sqrt{mn} \Rightarrow m^2 \leq 2mn }$

Δηλαδή:

$\displaystyle{ m \leq 2n \ \ (6) }$

Όμοια για να τέμνει ο κύκλος $\displaystyle{C(A,n) }$ τον κύκλο $\displaystyle{C(O,R)}$ θα πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle{n \leq 2m \ \ (7) }$

Δηλαδή γενικά για να έχουμε λύσεις με το δεδομένα τμήματα $\displaystyle{m,n}$ θα πρέπει

από τις (6) και (7) σχέσεις να ισχύει:

$\displaystyle{\frac{m}{2} \leq n \leq 2m \ \ (8) }$

Ειδικές περιπτώσεις:

Έστω $\displaystyle{ \frac{m}{2} = n }$ τότε έχουμε το σχήμα:

: Κατασκευή τριγώνου 1δ.png (27.65 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Έστω $\displaystyle{ n=2m}$

τότε έχουμε το σχήμα:

: Κατασκευη τριγώνου 1γ.png (25.83 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Παρατηρούμε στα δυο τελευταία σχήματα ότι τα δυο ζεύγη τριγώνων ταυτίζονται σε

δυο τρίγωνα ορθογώνια και μάλιστα μεταξύ των ίσα.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

Re: Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

Re: Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

Re: Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

Re: Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

Re: Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

Re: Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

Re: Κατασκευή τριγώνου με αφορμή....

Μέλη σε σύνδεση