Π.Α.Τ.

#1

Δίνεται το πρόβλημα αρχικών τιμών
$\displaystyle y'(x)=\frac{(2x+2)\,{\rm{e}}^{-y^2}\cos{y}+2023}{x^2-2x-35}\,,\qquad y(0)=0\,.$

Να εξετασθεί η αλήθεια των προτάσεων:

Το π.α.τ. έχει ακριβώς μια λύση η οποία ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα .
Ισχύει $x\,y_0\leqslant 0\,,\; x\in I$ .

edit: 27/5/23, 10:55. Διορθώθηκε τυπογραφικό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 27, 2023 7:46 am
Δίνεται το πρόβλημα αρχικών τιμών
$\displaystyle y'(x)=\frac{(2x+2)\,{\rm{e}}^{-y^2}\cos{y}+2023}{x^2-2x-35}\,,\qquad y(0)=0\,.$

Να εξετασθεί η αλήθεια των προτάσεων:

Το π.α.τ. έχει ακριβώς μια λύση η οποία ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα .

Ισχύει $x\,y_0\leqslant 0\,,\; x\in I$ .

edit: 27/5/23, 10:55. Διορθώθηκε τυπογραφικό.

Αν θέσουμε
$\displaystyle f(x,y)=\frac{(2x+2)\,{\rm{e}}^{-y^2}\cos{y}+2023}{x^2-2x-35}$
τότε για
$x\in (-5,7)$ είναι $\displaystyle f(x,y)<0$
Αρα η y_0(x)

είναι γνησίως φθίνουσα οπότε το ii προκύπτει άμεσα .

Το i έχει ενδιαφέρον.
Στην ουσία μας ζητάει να βρούμε το μέγιστο διάστημα που ορίζεται η μοναδική λύση.
Η μοναδικότητα εξασφαλίζεται από το θεώρημα Picard-Lindelof.

Θα δώσω μια πρόταση που δίνει το μέγιστο διάστημα που ορίζεται η μοναδική λύση και η οποία μπορεί
να εφαρμοσθεί εδώ ,αλλά είναι γενικότερη.
Εν καιρό θα γράψω και την απόδειξη.

Εστω $\displaystyle I\subseteq \mathbb{R}$ ανοικτό διάστημα και $\displaystyle f:I\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής συνάρτηση που πληρεί τα παρακάτω
Για κάθε $[a,b]\subseteq I$ υπάρχουν σταθερές $M_{ab},C_{ab}$ ώστε
1)Για $(x,y)\in [a,b]\times \mathbb{R}$ είναι $|f(x,y)|\leq M_{ab}$
2)Για $x\in [a,b]$ και $y_1,y_2\in \mathbb{R}$ είναι $\displaystyle |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq C_{ab}|y_1-y_2|$

Για $x_0\in I,y_0\in \mathbb{R}$
το Π.Α.Τ
y'(x)=f(x,y(x)), y(x_0)=y_0

έχει μοναδική λύση
$y:I\rightarrow \mathbb{R}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Εστω $\displaystyle I\subseteq \mathbb{R}$ ανοικτό διάστημα και $\displaystyle f:I\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής συνάρτηση που πληρεί τα παρακάτω
Για κάθε $[c,d]\subseteq I$ υπάρχουν σταθερές $M_{cd},C_{cd}$ ώστε
1)Για $(x,y)\in [c,d]\times \mathbb{R}$ είναι $|f(x,y)|\leq M_{cd}$
2)Για $x\in [c,d]$ και $y_1,y_2\in \mathbb{R}$ είναι $\displaystyle |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq C_{cd}|y_1-y_2|$

Για $x_0\in I,y_0\in \mathbb{R}$
το Π.Α.Τ
y'(x)=f(x,y(x)), y(x_0)=y_0

έχει μοναδική λύση
$y:I\rightarrow \mathbb{R}$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ.
Από το Θεώρημα Picard-Lindelof υπάρχει $\epsilon >0$ και
$\displaystyle y:(x_0-\epsilon ,x_0+ \epsilon)\rightarrow \mathbb{R},y(x_0)=y_0$
ώστε
$\displaystyle y'(x)=f(x,y(x)),x\in (x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon)$
Εστω (a,b)

το μέγιστο διάστημα που ορίζεται η παραπάνω λύση.
Θα δείξουμε ότι I=(a,b)

Εστω ότι το

είναι εσωτερικό σημείο του

είναι βασική οπότε συγκλίνει.
Από γνωστό θεώρημα το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow b^{-}}y(x)$ υπάρχει.
Θέτουμε $\displaystyle y(b)=\lim_{x\rightarrow b^{-}}y(x)$
Από ΘΜΤ είναι
$\displaystyle y'(b)=\lim_{x\rightarrow b^-}\frac{y(x)-y(b)}{x-b}=\lim_{\xi _{x}\rightarrow b^-}y'(\xi _x)$
Επειδή είναι $\displaystyle y'(\xi _x)=f(\xi _x, y(\xi _x))$
Από συνέχεια είναι $\lim_{\xi _{x}\rightarrow b^-}y'(\xi _x)=f(b,y(b))$
Από το Θεώρημα Picard-Lindelof η

ορίζεται στο $(b-\delta ,b+\delta ),\delta>0$
ΑΤΟΠΟ.
Αρα το

είναι το δεξιο άκρο του

Όμοια το

είναι το αριστερό άκρο του

.

Π.Α.Τ.

Π.Α.Τ.

Re: Π.Α.Τ.

Re: Π.Α.Τ.

Μέλη σε σύνδεση