Ίσο με την διάκεντρο

KARKAR · #1

: Ίσο με την διάκεντρο.png (15.54 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Οι κύκλοι (O,3)

και

εφάπτονται εξωτερικά στο

. Εντοπίστε σημεία

S , P

των δύο κύκλων , ώστε : $\widehat{STP}=90^\circ$ και : SP=5

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 13, 2023 8:40 am
Ίσο με την διάκεντρο.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο . Εντοπίστε σημεία

των δύο κύκλων , ώστε : $\widehat{STP}=90^\circ$ και : .

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα OTS, KTP

είναι :

: Ίσο με τη διάκεντρο.png (18.75 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} S{T^2} = 18 - 18\cos \theta \hfill \\ T{P^2} = 8 + 8\cos \theta \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow S{T^2} + T{P^2} = 26 - 10\cos \theta \Leftrightarrow 25 = 26 - 10\cos \theta \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{1}{{10}}$

Άρα, $\boxed{ST = \frac{9}{{\sqrt 5 }}}$ και $\boxed{TP = 2\sqrt {\frac{{11}}{5}}}$

Henri van Aubel · #3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Henri van Aubel · #4

Χαιρετώ άπαντες, ωραία λύση Γιώργο!

Παραθέτω και μία αμιγώς γεωμετρική.

Έστω M,N

τα μέσα των τμημάτων ST,TP

αντίστοιχα και έστω ST=x

οπότε έχουμε $TP=\sqrt{25-x^{2}}.$

Τα ορθογώνια τρίγωνα OMT

και

είναι όμοια αφού έχουν $\angle OTM=90^\circ-\angle NTK=\angle NKT.$

Συνεπώς, είναι $\displaystyle \frac{OM}{NT}=\frac{OT}{KT}=\frac{3}{2}\left ( 1 \right )$

Εύκολα υπολογίζω $\displaystyle OM=\sqrt{9-\frac{x^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{36-x^{2}}}{2}\&NT=\frac{\sqrt{25-x^{2}}}{2}(2)$

Oπότε από $\left ( 1 \right )\&\left ( 2 \right )$ θα πάρουμε $\displaystyle \frac{\sqrt{36-x^{2}}}{\sqrt{25-x^{2}}}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{36-x^{2}}{25-x^{2}}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow x^{2}=\frac{81}{5}^{x> 0}\Leftrightarrow \boxed{x=\frac{9\sqrt{5}}{5}}$

Μετά βρίσκουμε $\displaystyle \boxed{TP=\sqrt{25-\frac{81}{5}}=\frac{2\sqrt{55}}{5}}$

Ίσο με την διάκεντρο

Ίσο με την διάκεντρο

Re: Ίσο με την διάκεντρο

Re: Ίσο με την διάκεντρο

Re: Ίσο με την διάκεντρο

Μέλη σε σύνδεση