Ξυστό

KARKAR · #1

: Ξυστό.png (16.74 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

Για την συνάρτηση

, είναι γνωστό ότι : f(0)=0

και :

, για κάθε : x>0

.

Αν : 0<a<b

και :

, δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in (a,b)$ ,

τέτοιο ώστε : $(OAB)=\dfrac{b-a}{2}(f(a)-af'(\xi))$ . Διορθώθηκε μια αβλεψία

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 15, 2023 8:28 pm
Για την συνάρτηση , είναι γνωστό ότι : και : , για κάθε : .

Αν : και : , δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in (a,b)$ ,

τέτοιο ώστε : $(OAB)=\dfrac{b-a}{2}(f(a)-af'(\xi))$ .

Η μοναδικότητα είναι άμεση: Αν $\dfrac{b-a}{2}(f(a)-af'(\xi))= \dfrac{b-a}{2}(f(a)-af'(\eta ))$ τότε $f'(\xi) = f'(\eta )$ .

Άρα $\xi = \eta$ αφού η

είναι γνήσια φθίνουσα (διότι f''(x)<0

).

Για την ύπαρξη: Εύκολα βλέπουμε ότι

$(OAB) = \dfrac {1}{2} (bf(a)-af(b))$ (βγαίνει π.χ. παίρνοντας τις προβολές A', B'

των

στον άξονα των

οπότε

, και λοιπά, γράφοντας τις τιμές των εμφανιζόμενων εμβαδών).

Το αποδεικτέο τώρα γίνεται $\dfrac {1}{2} (bf(a)-af(b)) = \dfrac{b-a}{2}(f(a)-af'(\xi))$ .

Με απλές πράξεις γράφεται ισοδύναμα ως $f'(\xi) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ , που είναι το γνώριμό μας Θ.Μ.Τ. Τελειώσαμε.

Ξυστό

Ξυστό

Re: Ξυστό

Μέλη σε σύνδεση