Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Tolaso J Kos · #1

Αν $\alpha$ η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου και $\beta, \gamma$ οι κάθετες πλευρές του να δειχθεί ότι:

$\alpha^3 > \beta^3 + \gamma^3$
$\alpha^4 > \beta^4 + \gamma^4$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Aς δούμε μόνο το πρώτο...

$a^{3}=a\cdot a^{2}=a\cdot \left ( b^{2}+c^{2} \right )=ab^{2}+ac^{2}$

Όμως a> b

και

, άρα $ab^{2}+ac^{2}> b\cdot b^{2}+c\cdot c^{2}=b^{3}+c^{3}$

Συνεπώς $a^{3}> b^{3}+c^{3}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 12, 2023 12:35 pm
Αν $\alpha$ η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου και $\beta, \gamma$ οι κάθετες πλευρές του να δειχθεί ότι:

$\alpha^3 > \beta^3 + \gamma^3$

$\alpha^4 > \beta^4 + \gamma^4$

II. $\displaystyle {a^4} = {({b^2} + {c^2})^2} = {b^4} + {c^4} + 2{b^2}{c^2}$

$\displaystyle {a^4} - ({b^4} + {c^4}) = 2{b^2}{c^2} > 0$

$\displaystyle {a^4} > {b^4} + {c^4}$

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 12, 2023 12:35 pm
Αν $\alpha$ η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου και $\beta, \gamma$ οι κάθετες πλευρές του να δειχθεί ότι:

$\alpha^3 > \beta^3 + \gamma^3$

$\alpha^4 > \beta^4 + \gamma^4$

H απόδειξη του Τηλέμαχου γενiκεύται: Είναι $a>b,\, a>c$ οπότε

$a^{n+2} = a^n\cdot a^2=a^n(b^2+c^2) = a^nb^2+a^nc^2> b^nb^2+c^nc^2=b^{n+2} +c^{n+2}$ για κάθε $n\ge 1$

Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση