Το μέγιστο του ελάχιστου

#1

Για κάθε $a,\,b,\, c >0$ ορίζουμε ως

τον μικρότερο από από τους $a,\, \dfrac {1}{a} +b,\, \dfrac {2}{b} +c,\, \dfrac {4}{3c}$ . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του

.

Σχόλιο. Η άσκηση είναι επουσιώδης παραλλαγή (άλλα νούμερα) αλλά, κυρίως, βελτίωση μιας άσκησης που μου έστειλαν χθες από Ρουμανία. Ήταν από διαγωνισμό σε Β' Γυμνασίου. Μου άρεσε πολύ γι' αυτό την μοιράζομαι μαζύ σας.

Ορέστης Λιγνός · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 01, 2023 11:15 pm
Για κάθε $a,\,b,\, c >0$ ορίζουμε ως τον μικρότερο από από τους $a,\, \dfrac {1}{a} +b,\, \dfrac {2}{b} +c,\, \dfrac {4}{3c}$ . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του .

Σχόλιο. Η άσκηση είναι επουσιώδης παραλλαγή (άλλα νούμερα) αλλά, κυρίως, βελτίωση μιας άσκησης που μου έστειλαν χθες από Ρουμανία. Ήταν από διαγωνισμό σε Β' Γυμνασίου. Μου άρεσε πολύ γι' αυτό την μοιράζομαι μαζύ σας.

Η απάντηση είναι $d_{{\rm max}}=2$ . Ας υποθέσουμε ότι

$d=\min \{a,\dfrac{1}{a}+b,\dfrac{2}{b}+c,\dfrac{4}{3c} \}>2$ .

Τότε, $\dfrac{4}{3c}>2$ , άρα $c<\dfrac{2}{3}$ . Οπότε, $\dfrac{2}{b}>2-c>\dfrac{4}{3},$ συνεπώς $b<\dfrac{3}{2}$ . Άρα,

$2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}>\dfrac{1}{a}+b>2,$

άτοπο.

Για να ολοκληρωθεί η λύση, παρατηρούμε ότι αν $(a,b,c)=(2,\dfrac{3}{2},\dfrac{2}{3})$ , τότε ισχύει ότι d=2

.

#3

Πολύ ωραία.

Η δική μου λύση: Δείχνουμε πρώτα ότι $d\le 2$ .

Aν $c\ge \dfrac {2}{3}$ τότε $d\le \dfrac {4}{3c} \le \dfrac {4}{3} \cdot \dfrac {3}{2} =2$ , και είμαστε εντάξει. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι $c\le \dfrac {2}{3} \,(1)$ .

Aν $b\ge \dfrac {3}{2}$ τότε $d\le \dfrac {2}{b} +c \le^{(1)} 2\cdot \dfrac {2}{3} + \dfrac {2}{3} =2$ , και είμαστε πάλι εντάξει. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι $b\le \dfrac {3}{2} \,(2)$ .

Aν $a\ge 2$ τότε $d\le \dfrac {1}{a} +b \le^{(2)} \le \dfrac {1}{2} + \dfrac {3}{2} =2$ , και είμαστε πάλι εντάξει. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι $a \le 2 \,(3)$ .

Αλλά τότε $d\le a \le ^{(3)} \le 2$ , που ολοκληρώνει την απόδειξη του $d\le 2$ . Τέλος, αν $c= \dfrac {2}{3} ,\, b= \dfrac {3}{2} ,\, a=2$ είναι $d=\min (2,\,2,\, 2,\, 2 )=2$ που ολοκληρώνει την άσκηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μαγικά από τον Μιχάλη και Ορέστη.(πως σκέφτηκαν το 2)

Να το δούμε χωρίς μαγικά.

Εστω

ο ελάχιστος.
Θα είναι
$\displaystyle d\leq a,d\leq \frac{1}{a}+b,d\leq \frac{2}{b}+c,d\leq \frac{4}{3c}$

Από τις δύο πρώτες προκύπτει ότι
$\displaystyle \frac{d^2-1}{d}\leq b$

Εξασφαλιζουμε βάζοντας τιμές ότι d>1

αντικαθιστώντας στην τρίτη προκύπτει
$\displaystyle \frac{d^3-3d}{d^2-1}\leq c$

Εξασφαλιζουμε βάζοντας τιμές ότι $d> \sqrt{3}$
η τέταρτη δίνει ότι
$\displaystyle 3d^4-13d^2+4\leq 0$

που άμεσα δίνει ότι $d\leq 2$

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 02, 2023 10:33 pm
(πως σκέφτηκαν το 2)

.
Σωστά. Απέκρυψα την σκέψη μου. Επανορθώνω.

Προκύπτει από το γεγονός ότι αν το $\min \left ( a,\, \dfrac{1}{a}+b,\, \dfrac{2}{b}+c, \, \dfrac{4}{3c}\right )$ είναι ίσο με π.χ. την πρώτη συντεταγμένη (όμοια οι άλλες περιπτώσεις), τότε μεγαλώνοντας ελάχιστα το

(αλλά να παραμένει μικρότερο από τις άλλες συντεταγμένες) έχει ως αποτέλεσμα να μεγαλώνει το minimum. Άρα περιμένουμε ότι το μέγιστο minimum να έχει όλες τις συντεταγμένες ίσες, εδώ $a= \dfrac{1}{a}+b = \dfrac{2}{b}+c = \dfrac{4}{3c}$ . Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε τις τιμές που έγραψα στην λύση μου (όπως και ο Ορέστης), δηλαδή $c= \dfrac {2}{3} ,\, b= \dfrac {3}{2} ,\, a=2$ . Είναι τότε $d=\min (2,\,2,\, 2,\, 2 )=2$

Το μέγιστο του ελάχιστου

Το μέγιστο του ελάχιστου

Re: Το μέγιστο του ελάχιστου

Re: Το μέγιστο του ελάχιστου

Re: Το μέγιστο του ελάχιστου

Re: Το μέγιστο του ελάχιστου

Μέλη σε σύνδεση