Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Al.Koutsouridis · #1

XLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 9η τάξη.

1. Αν στο τραπέζι βρίσκονται μερικοί σωροί από βότσαλα, θεωρούμε, ότι το τραπέζι έχει πολλά βότσαλα, αν μπορούμε να βρούμε

σωρούς και να τους απαριθμήσουμε με τους αριθμούς από

έως

έτσι, ώστε στο πρώτο σωρό να υπάρχει τουλάχιστον ένα βότσαλο, στο δεύτερο τουλάχιστον δυο, …, στον πεντηκοστό τουλάχιστον πενήντα βότσαλα. Έστω αρχικά στο τραπέζι βρίσκονται 100

σωροί των

βότσαλων έκαστος. Να βρείτε τον μεγαλύτερο $n \leq 10000$ τέτοιον, ώστε μετά την αφαίρεση από τους αρχικούς σωρούς οποιονδήποτε

βότσαλων στο τραπέζι θα παραμείνουν παρά ταύτα πολλά βότσαλα. (Με την αφαίρεση βότσαλων από ένα σωρό ο σωρός δεν διασπάται σε κάμποσους.) (Ντ. Χραμτσόβ)

2. Εξετάζουμε όλους του 100-

ψήφιους αριθμούς που διαιρούνται με το

. Να αποδείξετε, ότι το πλήθος τέτοιων αριθμών, που δεν περιέχουν τα ψηφία 4, 5

και

, ισούται με το πλήθος τέτοιων αριθμών, που δεν περιέχουν τα ψηφία 1,4

και

. (Ι. Εφρέμοβ)

3. Δίνεται τραπέζιο ABCD

, στο οποίο AD || BC

και οι ημιευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

. Οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ABC

και

, τέμνονται στο σημείο

. Οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ABD

και

, τέμνονται στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι τα σημεία E,F

και

είναι συνευθειακά. (Α. Κουζνέτσοβ)

4. Ο Γιώργος έχει 10000

σταθμά, μεταξύ των οποίων δεν υπάρχουν δυο του ίδιου βάρους. Επίσης έχει μια περιέργοσυσκευή: αν τοποθετήσει σε αυτήν

σταθμά, τότε αυτή του δεικνύει το άθροισμα των βαρών κάποιων δυο εξ αυτών (αλλά είναι άγνωστο, ποιων ακριβώς). Να αποδείξετε, ότι ο Γιώργος μπορεί να χρησιμοποιήσει την περίεργοσυσκευή έτσι, ώστε μετά από κάποια ώρα να υποδείξει ένα από τα σταθμά και να ονομάσει ακριβώς το βάρος του. (Στην περίεργοσυσκευή δεν επιτρέπεται να τοποθετούμε άλλο αριθμό σταθμών.) (Σ. Μπερλόβ, Τ. Κοροτσένκο)

Ορέστης Λιγνός · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 24, 2023 10:55 pm
3. Δίνεται τραπέζιο , στο οποίο και οι ημιευθείες και τέμνονται στο σημείο . Οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και , τέμνονται στο σημείο . Οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και , τέμνονται στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά. (Α. Κουζνέτσοβ)

Δείτε εδώ.

Ορέστης Λιγνός · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 24, 2023 10:55 pm
1. Αν στο τραπέζι βρίσκονται μερικοί σωροί από βότσαλα, θεωρούμε, ότι το τραπέζι έχει πολλά βότσαλα, αν μπορούμε να βρούμε σωρούς και να τους απαριθμήσουμε με τους αριθμούς από έως έτσι, ώστε στο πρώτο σωρό να υπάρχει τουλάχιστον ένα βότσαλο, στο δεύτερο τουλάχιστον δυο, …, στον πεντηκοστό τουλάχιστον πενήντα βότσαλα. Έστω αρχικά στο τραπέζι βρίσκονται σωροί των βότσαλων έκαστος. Να βρείτε τον μεγαλύτερο $n \leq 10000$ τέτοιον, ώστε μετά την αφαίρεση από τους αρχικούς σωρούς οποιονδήποτε βότσαλων στο τραπέζι θα παραμείνουν παρά ταύτα πολλά βότσαλα. (Με την αφαίρεση βότσαλων από ένα σωρό ο σωρός δεν διασπάται σε κάμποσους.) (Ντ. Χραμτσόβ)

Η απάντηση είναι $n_{{\rm max}}=5099$ . Η απόδειξη χωρίζεται σε 2 μέρη:

Μέρος 1: Μπορούμε να πάρουμε 5100

βότσαλα ώστε να μην ισχύει το ζητούμενο. Πράγματι, αρκεί να πάρουμε

βότσαλα από κάθε σωρό.

Μέρος 2: Αν πάρουμε 5099

βότσαλα, το ζητούμενο πάντοτε ικανοποιείται. Έστω ότι παίρνουμε k_i

βότσαλα από τον

σωρό με $k_1 \geq k_2 \geq \ldots \geq k_{100}$ . Τότε, έχουμε τον ακόλουθο Ισχυρισμό:

Ισχυρισμός: $k_i \leq 150-i$ , για κάθε $i \in \{51, 52, \ldots, 100 \}$ .
Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει $i \in \{51, \ldots, 100 \}$ τέτοιο, ώστε $k_i \geq 151-i$ . Τότε, είναι

$5099=k_1+\ldots+k_{100} \geq k_1+\ldots+k_i \geq ik_i \geq i(151-i) \geq 5100,$

με την τελευταία ανισότητα να ισχύει διότι είναι ισοδύναμη με την $(i-51)(i-100) \leq 0,$ που ισχύει διότι $51 \leq i \leq 100$ . Συνεπώς, προκύπτει άτοπο και άρα το ζητούμενο ισχύει $\blacksquare$

Πίσω στο πρόβλημα, σε κάθε σωρό έχουν απομείνει 100-k_i

βότσαλα, και για κάθε $i \in \{51,52, \ldots, 100 \}$ είναι

$100-k_i \geq 100-(150-i)=i-50,$

συνεπώς ο 51-

οστός σωρός περιέχει τουλάχιστον

βότσαλο, ο 52-

οστός σωρός περιέχει τουλάχιστον

βότσαλα, και τελικά ο 100-

οστός σωρός περιέχει τουλάχιστον

βότσαλα.

Ορέστης Λιγνός · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 24, 2023 10:55 pm
XLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 9η τάξη.

2. Εξετάζουμε όλους του ψήφιους αριθμούς που διαιρούνται με το . Να αποδείξετε, ότι το πλήθος τέτοιων αριθμών, που δεν περιέχουν τα ψηφία και , ισούται με το πλήθος τέτοιων αριθμών, που δεν περιέχουν τα ψηφία και . (Ι. Εφρέμοβ)

Έστω $A=\{100- \, \text{\gr ψήφιοι αριθμοί, πολλαπλάσια του 19 που περιέχουν μόνο τα ψηφία 1,2,3,7,8,9} \}$ και $B=\{100- \, \text{\gr ψήφιοι αριθμοί, πολλαπλάσια του 19 που περιέχουν μόνο τα ψηφία 2,3,5,6,8,9} \}$ . Θέλουμε να αποδείξουμε ότι |A|=|B|

. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση $f : A \rightarrow B$ . Αφού τα σύνολα A,B

είναι πεπερασμένα, αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο.

Έστω $\overline{a_1 \ldots a_{100}} \in A$ . Ορίζουμε $f(\overline{a_1 \ldots a_{100}})=\overline{b_1 \ldots b_{100}}$ με

$b_i=\begin{cases} 3, \,\, \text{\gr αν} \,\, a_i=1 \\ \\ 6, \,\, \text{\gr αν} \,\, a_i=2 \\ \\ 9, \,\, \text{\gr αν} \,\, a_i=3 \\ \\ 2, \,\, \text{\gr αν} \,\, a_i=7 \\ \\ 5 \,\, \text{\gr αν} \,\, a_i=8 \\ \\ 8 \,\, \text{\gr αν} \,\, a_i=9 \end{cases}$

Παρατηρούμε ότι $b_i \equiv 3a_i \pmod {19}$ για κάθε

. Συνεπώς,

$\overline{b_1 \ldots b_{100}} \equiv 3\overline{a_1 \ldots a_{100}} \equiv 0 \pmod {19},$

και άρα $\overline{b_1 \ldots b_{100}} \in B$ . Συνεπώς, η συνάρτηση

είναι πράγματι 1-1 και επί, οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Μέλη σε σύνδεση