Το μικρότερο

KARKAR · #1

: Το μικρότερο.png (10.25 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι:

. Από σημείο

, το οποίο κινείται επί

της

, φέρουμε : $SP \parallel BC$ και $ST \perp BC$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

#2

Καλησπέρα σε όλους.

: 13-03-2023 Γεωμετρία.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Το ύψος στη

είναι

. (Παραλείπω την εύρεση).

Το

παρουσιάζει ελάχιστο όταν και το PT^2

παρουσιάζει ελάχιστο.

Είναι $\displaystyle P{T^2} = S{P^2} + S{T^2} = {a^2} + {b^2}$

Από ομοιότητα των ASP, ABC

είναι $\displaystyle \frac{b}{{21}} = \frac{{12 - a}}{{12}} \Leftrightarrow \frac{b}{7} = \frac{{12 - a}}{4} \Leftrightarrow b = 21 - \frac{{7a}}{4}$
Οπότε $\displaystyle {a^2} + {b^2} = \frac{{65{a^2}}}{{16}} - \frac{{147a}}{2} + 441,\;\;a \in \left[ {0,12} \right]$
Παρουσιάζει ελάχιστο όταν $\displaystyle a = \frac{{588}}{{65}}$ .
Τότε $\displaystyle P{T_{\min }} = \sqrt {{{\left( {\frac{{588}}{{65}}} \right)}^2} + {{\left( {21 - \frac{{1029}}{{65}}} \right)}^2}} \cong 10,42$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 13, 2023 8:18 pm
Το μικρότερο.pngΣτο τρίγωνο , είναι: . Από σημείο , το οποίο κινείται επί

της , φέρουμε : $SP \parallel BC$ και $ST \perp BC$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

Καλημέρα

$AL\perp BC,ST//AL,SB=x, \dfrac{SP}{21}=\dfrac{13-x}{13}\Leftrightarrow SP=\dfrac{21(13-x)}{13}, (1),AL=12,\dfrac{ST}{12}=\dfrac{x}{13}\Leftrightarrow ST=\dfrac{12}{13}x,(2), y^{2}=TP^{2}=ST^{2}+SP^{2},(3) , (1),(2),(3)\Rightarrow (4^{2}+7^{2})x^{2}-26.7^{2}.x+7^{2}.13^{2}-(\dfrac{13}{3})^{2}.y^{2}=0\Rightarrow y_{min}=\dfrac{84}{\sqrt{65}},x_{min}=\dfrac{637}{65}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 13, 2023 8:18 pm
Το μικρότερο.pngΣτο τρίγωνο , είναι: . Από σημείο , το οποίο κινείται επί

της , φέρουμε : $SP \parallel BC$ και $ST \perp BC$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

Θέτω

και είναι $\displaystyle \frac{x}{{13}} = \frac{{SP}}{{21}} \Leftrightarrow SP = \frac{{21x}}{{13}}.$ Με νόμο συνημιτόνου βρίσκω

$\displaystyle \cos B = \frac{5}{{13}} \Leftrightarrow \sin B = \frac{{12}}{{13}} = \frac{{ST}}{{13 - x}} \Leftrightarrow ST = \frac{{12(13 - x)}}{{13}}$

: Το μικρότερο.Κ.png (9.64 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

$\displaystyle P{T^2} = S{P^2} + S{T^2} = \frac{{441{x^2}}}{{169}} + \frac{{144{{(13 - x)}^2}}}{{169}} = ... = \frac{9}{{13}}(5{x^2} - 32x + 208),$ όπου

ως τριώνυμο παρουσιάζει για $\boxed{x = \frac{{16}}{5}}$ ελάχιστο ίσο με $\boxed{P{T_{\min }} = \frac{{84}}{{\sqrt {65} }}}$

Το μικρότερο

Το μικρότερο

Re: Το μικρότερο

Re: Το μικρότερο

Re: Το μικρότερο

Μέλη σε σύνδεση