Σύνολο τιμών και εμβαδόν

KARKAR · #1

: Σύνολο τιμών.png (22.99 KiB) Προβλήθηκε 1335 φορές

Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}$ . Αν οι συντεταγμένες των σημείων A,B

,

δείχνουν τις θέσεις των ακροτάτων , καθώς και τα ακρότατα της

, υπολογίστε το : (OAB)

Tolaso J Kos · #2

Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος, δηλ. $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ . Τότε $\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ και $\varphi^2 = 1 + \varphi$ . Η

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο $\displaystyle{f'(x)= -\frac{2\left ( x^2+x-1 \right )}{\left ( x^2+1 \right )^2}}$ . Είναι $\displaystyle{f'(x)= 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & \frac{1}{\varphi} \\ x & = & -\varphi \end{matrix}\right.}$ . Τότε,

: Screenshot 2023-02-14 at 23-22-30 LaTeX.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 1294 φορές

Άρα $\displaystyle{f\left ( \mathbb{R} \right ) = \left [ -\frac{1}{\varphi} , \varphi \right ]}$ . Είναι $\displaystyle{\mathrm{A} = \left ( \frac{1}{\varphi}, \varphi \right )}$ και $\displaystyle{\mathrm{B} = \left ( -\varphi, - \frac{1}{\varphi} \right )}$ . Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{OA} &= \sqrt{\frac{1}{\varphi^2} + \varphi^2} \\ &= \sqrt{\left ( \frac{1}{\varphi} + \varphi \right )^2 - 2 \varphi \cdot \frac{1}{\varphi}} \\ &= \sqrt{\left ( \frac{1 + \varphi^2}{\varphi} \right )^2 - 2}\\ &=\sqrt{\left ( \frac{\varphi + 2}{\varphi} \right )^2 - 2}\ \\ &= \sqrt{\left ( 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^2 - 2} \\ &= \sqrt{5-2} \\ &= \sqrt{3} \end{aligned}}$
Όμοια , $\mathrm{OB}=\sqrt{3}$ . Τέλος,

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{AB} &= \sqrt{\left ( \frac{1}{\varphi} + \varphi \right )^2 + \left ( \varphi + \frac{1}{\varphi} \right )^2} \\ &=\sqrt{2 \cdot \left ( \frac{1}{\varphi} + \varphi \right )^2} \\ &=\sqrt{2} \left ( \varphi + \frac{1}{\varphi} \right ) \\ &=\sqrt{2} \left ( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right ) \\ &= \sqrt{10} \end{aligned}}$
Άρα, το εμβαδόν του τριγώνου σύμφωνα με τον τύπο του Ήρωνα είναι ίσο με:

$\displaystyle{\begin{aligned} (\mathrm{OAB}) &= \sqrt{\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{10}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \left ( \sqrt{3} - \frac{\sqrt{10}}{2} \right )} \\ &=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{10}{4} \cdot \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}}{2}} \\ &=\sqrt{\frac{\left ( 2 \sqrt{3} + \sqrt{10} \right ) \left ( 2 \sqrt{3} - \sqrt{10} \right ) \cdot 10}{16}} \\ &=\sqrt{\frac{2 \cdot 10}{16}} \\ &= \frac{2 \sqrt{5}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2} \end{aligned}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 14, 2023 8:24 pm
Σύνολο τιμών.pngΒρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}$ . Αν οι συντεταγμένες των σημείων ,

δείχνουν τις θέσεις των ακροτάτων , καθώς και τα ακρότατα της , υπολογίστε το :

Η εύρεση των σημείων $\displaystyle A\left( {\frac{1}{\Phi },\Phi } \right),B\left( { - \Phi , - \frac{1}{\Phi }} \right)$ είναι μονόδρομος.

$\displaystyle (OAB) = \frac{1}{2}|det(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} )| = \dfrac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{\Phi }}&\Phi \\ { - \Phi }&{ - \dfrac{1}{\Phi }} \end{array}} \right|| = \dfrac{1}{2}\left( {{\Phi ^2} - \dfrac{1}{{{\Phi ^2}}}} \right) = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$

Tolaso J Kos · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 15, 2023 11:31 am

$\displaystyle (OAB) = \frac{1}{2}|det(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} )| = \dfrac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{\Phi }}&\Phi \\ { - \Phi }&{ - \dfrac{1}{\Phi }} \end{array}} \right|| = \dfrac{1}{2}\left( {{\Phi ^2} - \dfrac{1}{{{\Phi ^2}}}} \right) = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$

Αυτόν τον τρόπο τον είχα ξεχάσει με τα διανύσματα!

KARKAR · #5

: Σύνολο τιμών.png (22.99 KiB) Προβλήθηκε 1232 φορές

Το τμήμα

ανήκει στην ευθεία : y=x+1

, της οποίας η απόσταση από το

,

είναι : $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Συνεπώς : $E=\dfrac{1}{2}\sqrt{10}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ .

Σύνολο τιμών και εμβαδόν

Σύνολο τιμών και εμβαδόν

Re: Σύνολο τιμών και εμβαδόν

Re: Σύνολο τιμών και εμβαδόν

Re: Σύνολο τιμών και εμβαδόν

Re: Σύνολο τιμών και εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση