Σύστημα

#1

Αν $\displaystyle{x , y}$ είναι θετικοί ακέραιοι , να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{5x +3y =245}$

$\displaystyle{x^2 + y^2 =}$ πολλ $\displaystyle{7}$

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 19, 2023 4:05 pm
Αν $\displaystyle{x , y}$ είναι θετικοί ακέραιοι , να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{5x +3y =245}$

$\displaystyle{x^2 + y^2 =}$ πολλ

ΔΙΟΡΘΩΣΑ ένα τυπογραφικό: Αντί πολλ/σιο του

που είχα κατά λάθος γράψει, είναι πολλ/σιο του

.
Ζητώ συγνώμη, από όσους ασχολήθηκαν.
(Το λάθος προέκυψε, επειδή αρχικά ήταν να βάλλω το σύστημα:
$\displaystyle{5x+3y=245}$
$\displaystyle{x+y=}$ πολ

Και στη συνέχεια το άλλαξα)

Al.Koutsouridis · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 19, 2023 4:05 pm
Αν $\displaystyle{x , y}$ είναι θετικοί ακέραιοι , να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{5x +3y =245}$

$\displaystyle{x^2 + y^2 =}$ πολλ $\displaystyle{7}$

Παρατηρούμε ότι το

θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του

, άρα θα είναι πολλαπλάσιο του

και το

. Έστω ότι είναι της μορφής y=5k

, όπου

κάποιoς θετικός ακέραιος. Τότε η πρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται διαδοχικά

$5x+3\cdot 5k =245$

x+3k=49

Αφού

, θα είναι 49-3k >0

, δηλαδή $\dfrac{49}{3} > k$ . Άρα για το

πρέπει να ισχύει 0 <k <17

.

Από την δεύτερη εξίσωση,αντικαθστώντας σε αυτήν την μορφή του

που βρήκαμε στην πρώτη, έχουμε

$(49-3k)^2 + (5k)^2 = \pi o \lambda \lambda. 7$

$49^2 -2 \cdot 49 \cdot 3k+ 9k^2 +25k^2 = \pi o \lambda \lambda. \quad 7$

$49^2 -2 \cdot 49 \cdot 3k +35k^2 -k^2 = \pi o \lambda \lambda. 7$

$7 \cdot ( 7 \cdot 49 - 2 \cdot 3 \cdot 7k + 5k^2) - k^2 = \pi o \lambda \lambda . 7$

$\pi o \lambda \lambda. 7 -k^2 =\pi o \lambda \lambda. 7$

Από την τελευταία μορφή της εξίσωσης συμπεράνουμε ότι το k^2

θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του

και άρα και το

. Οπότε οι δυνατές τιμές για το

είναι

και

.

Για

έχουμε $x = 49-3 \cdot 7=28$ , $y=5\cdot 7 =35$

Για k=14

έχουμε $x=49-3 \cdot 14=7$ , $y=5 \cdot 14=70$ .

Και τα δύο παραπάνω ζεύγη επαλήθεύουν το σύστημα.

Εναλλακτικά θα μπορούσε κάποιος να δείξει ότι, αν το άθροισμα των τετραγώνων δυο αριθμών είναι πολλαπλάσιο του

, τότε ο καθένας εκ των αριθμών θα είναι πολλαπλάσιο του

(αφήνεται ως άσκηση). Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα η πρώτη εξίσωση μπορεί να γραφεί στην μορφή

$35m +3 \cdot 35n=245$ ή

m+3n=7

για κάποιους θετικούς ακέραιους m,n

. Από όπου βρίσκουμε ότι, m=1, n=2

ή

.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 22, 2023 12:27 pm

Εναλλακτικά θα μπορούσε κάποιος να δείξει ότι, αν το άθροισμα των τετραγώνων δυο αριθμών είναι πολλαπλάσιο του , τότε ο καθένας εκ των αριθμών θα είναι πολλαπλάσιο του (αφήνεται ως άσκηση). Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα η πρώτη εξίσωση μπορεί να γραφεί στην μορφή

$35m +3 \cdot 35n=245$ ή

για κάποιους θετικούς ακέραιους . Από όπου βρίσκουμε ότι, ή .

Ας δούμε και μια εξήγηση, το γιατί αν το άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{7}$ , τότε ο καθένας θα είναι επίσης πολλαπλάσιο του $\displaystyle{7}$

Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι ο $\displaystyle{x}$ δεν είναι πολλαπλάσιo του $\displaystyle{7}$ , τότε:
$\displaystyle{x=1,2,3,4,5,6 mod7 \Rightarrow x^2 = 1,2,4 mod7}$
Επίσης $\displaystyle{y=0,1,2,3,4,5,6 mod7 \Rightarrow y^2 = 0, 1,2,4 mod7}$
Άρα $\displaystyle{x^2 +y^2 = 1,2,3,4,5,6 mod7 \neq 0mod7}$
Συνεπώς αν ένας τουλάχιστον από τους $\displaystyle{x , y}$ δεν είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{7}$ , τότε ο $\displaystyle{x^2 +y^2 }$ δεν θα ήταν
πολλαπλάσιο του $\displaystyle{7}$ , που αντίκειται στην υπόθεση.
Άρα πρέπει οι $\displaystyle{x,y}$ να είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{7}$ .

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση