Ώρα εφαπτομένης 147

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 147.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Τα τέσσερα τρίγωνα είναι ίσα και το εμβαδόν του εσωτερικού τετραγώνου ,

ισούται με το $\dfrac{1}{3}$ του εμβαδού του εξωτερικού . Υπολογίστε την : $\tan \theta$ .

Πώς θα κατασκευάζατε αυτό το σχήμα ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 10, 2023 7:08 pm
Ώρα εφαπτομένης 147.pngΤα τέσσερα τρίγωνα είναι ίσα και το εμβαδόν του εσωτερικού τετραγώνου ,

ισούται με το $\dfrac{1}{3}$ του εμβαδού του εξωτερικού . Υπολογίστε την : $\tan \theta$ .

Πώς θα κατασκευάζατε αυτό το σχήμα ;

Έστω τετράγωνο ABCD

και σημείο

στην (π. χ.) πλευρά

. Η από το

κάθετη στην

τέμνει την

στο

.

Συνεχίζω και φέρνω κάθετη από το

στην

και βρίσκω το

, κ.λ.π.

Υποθέτω τώρα το εμβαδόν του μικρού τετραγώνου που σχηματίστηκε είναι το $\dfrac{1}{3}{a^2}$ όπου

η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου .

Τα ορθογώνια τρίγωνα , $TDA\,\,\,,\,\,SCD$ ( και όχι μόνο) είναι ίσα . Θέτω τη πλευρά του μικρού τετραγώνου με

και

.

: ¨ωρα εφαπτομένης 147.png (25.99 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

Η διαφορά των εμβαδών μεγάλου και μικρού τετραγώνου είναι :

, όπου $X = \left( {DTA} \right)$ , συνεπώς $4X = \dfrac{2}{3}{a^2} \Leftrightarrow 2X = \dfrac{1}{3}{a^2} = {k^2}$ .

Δηλαδή : $m\left( {m + k} \right) = {k^2} \Rightarrow {k^2} - mk - {m^2} = 0$ και άρα : $\boxed{\dfrac{k}{m} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$ . Το

διαιρεί το

σε μέσο κι άκρο λόγο .

Προφανώς και το

διαιρεί το

σε μέσο κι άκρο λόγο (άρα ξέρω και πως θα κατασκευάσω το σχήμα )

Επειδή λοιπόν , $\dfrac{{CF}}{{FD}} = \dfrac{k}{m} = \varphi \,\, \Rightarrow \,\,\,\boxed{\tan \theta = \dfrac{{k + m}}{m} = \varphi + 1 = {\varphi ^2}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 10, 2023 7:08 pm
Ώρα εφαπτομένης 147.pngΤα τέσσερα τρίγωνα είναι ίσα και το εμβαδόν του εσωτερικού τετραγώνου ,

ισούται με το $\dfrac{1}{3}$ του εμβαδού του εξωτερικού . Υπολογίστε την : $\tan \theta$ .

Πώς θα κατασκευάζατε αυτό το σχήμα ;

Έστω

η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου και

του μικρού. Είναι a^2=3x^2

και έστω

: Εφ-147.png (18.15 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Με Π.Θ στο APB

είναι, $\displaystyle {x^2} + 2y(x + y) = {a^2} \Leftrightarrow y(x + y) = \frac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow \frac{{3(x + y)}}{y} = \frac{{{a^2}}}{{{y^2}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 3\tan \theta = \frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} = {\tan ^2}\theta + 1 \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta - 3\tan \theta + 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} = {\Phi ^2}}$

Υπάρχει και δεύτερη θέση του εσωτερικού τετραγώνου με $\boxed{\tan \theta = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \frac{1}{\Phi^2}}$ όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

: Εφ-147.β.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Τώρα όμως είναι $\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{{x + y}}$ και $\displaystyle \frac{{{a^2}}}{{{y^2}}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\theta }}.$

orestisgotsis · #4

Περιττό

#5

Να εξηγήσω τις τιμές που βρήκα στην πρώτη μου ανάρτηση.

Η εξίσωση $\displaystyle {\tan ^2}\theta - 3\tan \theta + 1 = 0,$ δίνει δύο τιμές $\displaystyle \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$ ή $\displaystyle \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$

Αλλά δεν είναι δεκτές και οι δύο, γιατί στην πρώτη περίπτωση $\displaystyle \tan \theta = \frac{{x + y}}{y} > 1,$ οπότε δεχόμαστε

την πρώτη τιμή, ενώ στη δεύτερη περίπτωση $\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{{x + y}} < 1,$ οπότε δεχόμαστε τη δεύτερη τιμή.

Όσο για την κατασκευή, αυτή γίνεται χωρίζοντας την

σε μέσο και άκρο λόγο. Στην πρώτη περίπτωση το επίμαχο σημείο είναι πιο κοντά στο

ενώ στη δεύτερη στο

#6

Kαλησπέρα σε όλους. Λίγο διαφορετικά ως προς τον υπολογισμό της εφαπτομένης. Με το αρχικό σχήμα.

: Ώρα εφαπτομένης 147.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

Έστω

η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου. Τότε $\displaystyle \left( {PAB} \right) = \frac{1}{6}$ .

Έστω $\displaystyle PA = c,PB = b$ . Ζητάμε την $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{b}{c}$ .

Είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {b^2} + {c^2} = 1\\ bc = \frac{1}{3} \end{array} \right. \Rightarrow {\left( {b + c} \right)^2} = \frac{5}{3} \Rightarrow b + c = \frac{{\sqrt {15} }}{3}$

Άρα τα b, c

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle 3{x^2} - \sqrt {15} x + 1 = 0$

Είναι $\displaystyle {x_{1,2}} = \frac{{\sqrt {15} \pm \sqrt 3 }}{6}$

Οπότε $\displaystyle \frac{b}{c} = \frac{{\sqrt {15} \pm \sqrt 3 }}{{\sqrt {15} \mp \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 5 \pm 1}}{{\sqrt 5 \mp 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon \varphi \theta = {\varphi ^2} = \varphi + 1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ \varepsilon \varphi \theta = \frac{1}{{{\varphi ^2}}} = \frac{1}{{\varphi + 1}} \end{array} \right.\;\;$

orestisgotsis · #7

Περιττό

Ώρα εφαπτομένης 147

Ώρα εφαπτομένης 147

Re: Ώρα εφαπτομένης 147

Re: Ώρα εφαπτομένης 147

Re: Ώρα εφαπτομένης 147

Re: Ώρα εφαπτομένης 147

Re: Ώρα εφαπτομένης 147

Re: Ώρα εφαπτομένης 147

Μέλη σε σύνδεση