Εύρεση του x

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (21.73 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την τιμή του x = AD

.

Henri van Aubel · #2

Καλό απόγευμα!!

Μία προσέγγιση στο ωραίο αυτό θέμα.

Το τετράπλευρο $\displaystyle ADBC$ είναι εγγράψιμο, άρα:

$\displaystyle \measuredangle CDB=a=b+30^\circ$

$\displaystyle \measuredangle CBD=90^\circ+\measuredangle ABD=90^\circ+b.$

Επομένως ισχύει:

$\displaystyle \frac{CD}{BC}=\frac{\sin \left ( \measuredangle CBD \right )}{\sin \left ( \measuredangle CDB \right )}=\frac{\sin \left ( b+90^\circ \right )}{\sin \left ( b+30^\circ \right )}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \tan b=\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{x}{3}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

STOPJOHN · #3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 27, 2022 4:22 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την τιμή του .

Καλημέρα και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Σχόλιο Στις ασκήσεις αυτής της κατηγορίας ,που συνήθως είναι δύσκολες,το πρόβλημα είναι οι βοηθητικές ευθείες που θα χρειασθούν για τη λύση και ΠΩΣ θα σκεφθούμε για να τις ανακαλύψουμε Στο θέμα μας σκέφτηκα να δημιουργήσω τη διαφορά των γωνιών α-b και να εμφανιστεί η γωνία των τριάντα μοιρών άρα κατασκευάζω τη μεσοκάθετο του τμήματος ΑC,...κ.λ.π
Ο κύκλος (M,AM),AM=MC=R

διέρχεται από τα σημεία C,B,D

εφόσον το τετράπλευρο ACBD

είναι εγράψιμο σε κύκλο , $\hat{ADC}=\hat{ABC}=90^{0},\hat{TAB}=30,$ και το τρίγωνο
MTB

είναι ισόπλευρο . $\hat{CAT}=\hat{ACD}=b,AD=CT=x,AC^{2}=4+AB^{2}, AC^{2}=9+x^{2}\Rightarrow AC^{2}=9+x^{2},4R^{2}-9=x^{2}, CTB,TB^{2}=4+x^{2}-4x\dfrac{\sqrt{3}}{2},TB=R \Rightarrow 3x^{2}-8\sqrt{3}x+7=0\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{3},x=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 27, 2022 4:22 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την τιμή του .

Ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} \tan b = \frac{x}{3} \hfill \\ \tan a = \tan \left( {30^\circ + b} \right) = \dfrac{{\tan 30^\circ + \tan b}}{{1 - \tan 30^\circ \cdot \tan b}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} + \dfrac{x}{3}}}{{1 - \dfrac{{x\sqrt 3 }}{9}}} \hfill \\ \tan a = \dfrac{2}{{AB}} = \dfrac{2}{{\sqrt {{k^2} - 4} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {{x^2} + 9 - 4} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {{x^2} + 5} }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Εύρεση του x_τριγωνομετρκά.png (12.34 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Άρα έχω την εξίσωση : $\dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{9 - x\sqrt 3 }} = \dfrac{2}{{\sqrt {{x^2} + 5} }}$ .

Προφανές ότι , $0 < x < 3 < 3\sqrt 3$ και έτσι η εξίσωση γράφεται:

$9{\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2}\left( {{x^2} + 5} \right) - 4{\left( {9 - x\sqrt 3 } \right)^2} = 0$ ή $\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {3{x^2} + 6\sqrt 3 x - 7} \right) = 0$ και έχει θετική ( και δεκτή ) ρίζα : $\boxed{x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}$ .

Η πιο απλή λύση μέχρι στιγμής (και η πλέον ενδεδειγμένη) είναι η πρώτη .

Πάντως θα αναζητήσω εξ ίσου απλή με την ελάχιστη δυνατή χρήση τριγωνομετρίας .

#5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 27, 2022 4:22 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την τιμή του .

: Εύρεση του x_ χωρίς λόγια.png (23.13 KiB) Προβλήθηκε 919 φορές

.
Μια Γωμετρική και χωρίς λόγια .

Ιστοσελίδα · #6

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 28, 2022 6:09 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 27, 2022 4:22 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την τιμή του .

Εύρεση του x_ χωρίς λόγια.png
.
Μια Γωμετρική και χωρίς λόγια .

#7

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 28, 2022 6:09 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 27, 2022 4:22 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την τιμή του .
Εύρεση του x_ χωρίς λόγια.png
.
Μια Γωμετρική και χωρίς λόγια .

Άψογος

Εύρεση του x

Εύρεση του x

Re: Εύρεση του x

Re: Εύρεση του x

Re: Εύρεση του x

Re: Εύρεση του x

Re: Εύρεση του x

Re: Εύρεση του x

Μέλη σε σύνδεση