Ολοκλήρωμα W Lambert

Tolaso J Kos · #1

Άσκηση 1

Έστω $\alpha>1$ πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_0^{\infty}W_0(x^{-\alpha})\, \mathrm{d}x =\alpha^{1-\frac{1}{\alpha}} \Gamma \left(1-\frac{1}{\alpha} \right)}$ .
Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} W_0 \left ( x e^{-x} \right ) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} \frac{W_0 \left ( x e^{-x} \right )}{x} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{12}}$ .

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι τύποι MacLaurent για τη συνάρτηση Lambert.

Άσκηση 2 (Μετασχηματισμός Mellin)

Να δειχθεί ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $\alpha \in (1, 2)$ ισχύει $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^{-\alpha} W_0 (x) \, \mathrm{d}x = \left ( \alpha -1 \right )^{\alpha -3} \Gamma \left ( 2 - \alpha \right )}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 17, 2022 3:04 pm
Άσκηση 1

Έστω $\alpha>1$ πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_0^{\infty}W_0(x^{-\alpha})\, \mathrm{d}x =\alpha^{1-\frac{1}{\alpha}} \Gamma \left(1-\frac{1}{\alpha} \right)}$ .

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} W_0 \left ( x e^{-x} \right ) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} \frac{W_0 \left ( x e^{-x} \right )}{x} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{12}}$ .

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι τύποι MacLaurent για τη συνάρτηση Lambert.

Άσκηση 2 (Μετασχηματισμός Mellin)

Να δειχθεί ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $\alpha \in (1, 2)$ ισχύει $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} x^{-\alpha} W_0 (x) \, \mathrm{d}x = \left ( \alpha -1 \right )^{\alpha -3} \Gamma \left ( 2 - \alpha \right )}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Tolaso J Kos · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 16, 2022 2:42 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 17, 2022 3:04 pm
Άσκηση 1

Έστω $\alpha>1$ πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_0^{\infty}W_0(x^{-\alpha})\, \mathrm{d}x =\alpha^{1-\frac{1}{\alpha}} \Gamma \left(1-\frac{1}{\alpha} \right)}$ .

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} W_0 \left ( x e^{-x} \right ) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} \frac{W_0 \left ( x e^{-x} \right )}{x} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{12}}$ .

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι τύποι MacLaurent για τη συνάρτηση Lambert.

Όπως τα λέει ο Σταύρος. Έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} W_0\left ( x^{-\alpha} \right )\, \mathrm{d}x & \overset{t =W_0 \left ( x^{-\alpha} \right )}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!} \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\infty} \left ( t+1 \right ) t^{-1/\alpha} e^{-t/\alpha}\, \mathrm{d}t \\ &\!\!\!\!\!\!\!\overset{t = \alpha s}{=\! =\! =\! =\! =\!} \alpha^{-1/\alpha} \int_{0}^{\infty} \left ( 1+ \alpha s \right ) s^{-1/\alpha} e^{-s}\, \mathrm{d}s \\ &= \alpha^{-1/\alpha} \left ( \int_{0}^{\infty} \alpha^{-1/\alpha} e^{-s}\, \mathrm{d}s + \alpha \int_{0}^{\infty} s^{1-1/\alpha} e^{-s} \, \mathrm{d}s \right ) \\ &= \alpha^{-1/\alpha} \left [ \Gamma \left ( 1 - \frac{1}{\alpha} \right ) + \alpha \Gamma \left ( 2 - \frac{1}{\alpha} \right ) \right ] \\ &= \alpha^{-1/\alpha} \left [ \Gamma \left ( 1 - \frac{1}{\alpha} \right ) + \alpha \left ( 1 - \frac{1}{\alpha} \right ) \Gamma \left ( 1 - \frac{1}{\alpha} \right ) \right ] \\ &= \alpha^{1 - 1/\alpha} \Gamma \left ( 1 - \frac{1}{\alpha} \right ) \end{aligned}}$
ότι είναι γνωστό ότι $\displaystyle{W_0(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n-1} x^n}{n!} \; , \; x \in \left [ -\frac{1}{e} , \frac{1}{e} \right ]}$ . Συνεπώς,

$\displaystyle{W_0(xe^{-x}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n e^{-nx}}$
Συνεπώς, για το ολοκλήρωμα έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} W_0(xe^{-x}) \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n e^{-nx} \, \mathrm{d}x \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} \int_{0}^{\infty} x^n e^{-n x} \, \mathrm{d}x \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} \frac{n!}{n^{n+1}} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \\ &= \frac{\pi^2}{12} \end{aligned}}$
Παρόμοιο επιχείρημα δίνει και το δεύτερο ολοκλήρωμα.

Ολοκλήρωμα W Lambert

Ολοκλήρωμα W Lambert

Re: Ολοκλήρωμα W Lambert

Re: Ολοκλήρωμα W Lambert

Μέλη σε σύνδεση