Παραλογισμός

KARKAR · #1

: Παραλογισμός.png (7.38 KiB) Προβλήθηκε 858 φορές

Στο τραπέζιο ABCD

, να αχθεί τμήμα STPQ

, παράλληλο προς τις βάσεις AD=a

και

,

ώστε : ST=TP=PQ

. Στη συνέχεια να υπολογισθεί ο λόγος : $\dfrac{AS}{SB}$ . Εφαρμογή : a=3 , b=8

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 13, 2022 5:59 pm
Παραλογισμός.pngΣτο τραπέζιο , να αχθεί τμήμα , παράλληλο προς τις βάσεις και ,

ώστε : . Στη συνέχεια να υπολογισθεί ο λόγος : $\dfrac{AS}{SB}$ . Εφαρμογή : .

Με

μέσον της

,η

τέμνει την διαγώνιο

στο

και η παράλληλη από το

στην

προσδιορίζει τα υπόλοιπα σημεία S,P,Q

Πράγματι,από θ.κ δέσμης $\dfrac{ST}{TP}= \dfrac{BM}{MC}=1= \dfrac{TP}{PQ} \Rightarrow ST=TP=PQ$

$\dfrac{AS}{ST}= \dfrac{DT}{TB}= \dfrac{a}{ \dfrac{b}{2} }= \dfrac{2a}{b}$

: παραλογισμός.png (14.88 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 13, 2022 5:59 pm
Παραλογισμός.pngΣτο τραπέζιο , να αχθεί τμήμα , παράλληλο προς τις βάσεις και ,

ώστε : . Στη συνέχεια να υπολογισθεί ο λόγος : $\dfrac{AS}{SB}$ . Εφαρμογή : .

Κατασκευή - απόδειξη
α) Φέρνω τη διάμεσο

του $\vartriangle ABC$ και τέμνει την

στο

.

Από το

φέρνω την παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου $ABCD\left( {AD//BC} \right)$ και τέμνει τις AB,AC,DC

στα

αντίστοιχα.

Επειδή η ευθεία $\overline {STPQ}$ παράλληλη στις βάσεις θα ισχύουν:

$\dfrac{{ST}}{{AD}} = \dfrac{{BS}}{{BA}} = \dfrac{{CQ}}{{CD}} = \dfrac{{PQ}}{{AD}} \Rightarrow \,\,ST = PQ\,\,\,\left( 1 \right)$

Από το $\vartriangle ABC$ και την κεντρική δέσμη, $\left( {AB,AM,AC} \right)$ θα ισχύει: $\dfrac{{ST}}{{TP}} = \dfrac{{BM}}{{MC}} = 1 \Rightarrow ST = TP\,\,\left( 2 \right)$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ θα έχω αυτό που θέλω.

: Παραλογισμός_ok.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

β) $\left\{ \begin{gathered} \frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{ST}}{{BM}} = \frac{{2ST}}{b} \hfill \\ \frac{{BS}}{{BA}} = \frac{{ST}}{{AD}} = \frac{{ST}}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Διαιρώ κατά μέλη: $\boxed{\frac{{AS}}{{BS}} = \frac{{2a}}{b}}$ ειδικά δε αν $a = 3\,,\,\,b = 8$ έχω: $\dfrac{{AS}}{{SB}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ .

Παρατήρηση .

Η ισότητα $\left( 1 \right)$ ισχύει για κάθε τέμνουσα του τραπεζίου που είναι παράλληλη στις βάσεις .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 13, 2022 5:59 pm
Παραλογισμός.pngΣτο τραπέζιο , να αχθεί τμήμα , παράλληλο προς τις βάσεις και ,

ώστε : . Στη συνέχεια να υπολογισθεί ο λόγος : $\dfrac{AS}{SB}$ . Εφαρμογή : .

$\displaystyle \bullet$ Αλλιώς για την κατασκευή.

: Παραλογισμός.png (12.07 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

$\displaystyle \frac{{OP}}{{OA}} = \frac{{TP}}{{AD}} = \frac{x}{a} = \frac{{PQ}}{{AD}} = \frac{{CP}}{{CA}},$ άρα τα P, A

είναι συζυγή αρμονικά των O, C.

Επομένως το σημείο

επί της

είναι γνωστό και κατασκευάσιμο. Φέρνω λοιπόν από το

παράλληλη στις βάσεις και ορίζεται το ζητούμενο τμήμα.

$\displaystyle \bullet$ Για το δεύτερο ερώτημα, έστω $\displaystyle \frac{{AS}}{{SB}} = k.$

$\displaystyle SQ = \frac{{b \cdot AS + a \cdot SB}}{{AB}} = \frac{{bk \cdot SB + a \cdot SB}}{{AB}} = \frac{{(bk + a)SB}}{{AB}} = \frac{{(bk + a)x}}{a} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 3x = \frac{{(bk + a)x}}{a} \Leftrightarrow 3a = bk + a \Leftrightarrow$ $\boxed{k=\frac{2a}{b}}$

#5

Μ’ άρεσε η λύση σου Γιώργο.

#6

$\bullet$ Έστω το σημείο $T\equiv BD\cap AM$ , με

το μέσον της πλευράς

και έστω $S,\ P$ , τα σημεία τομής των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, από την δια του σημείου

παράλληλη ευθεία προς την

.

Από $SP\parallel BC$ και $BM = MC\Rightarrow$ $ST = TP\ \ \ ,(1)$

Αρκεί τώρα να αποδειχθεί ότι ισχύει και $\boxed{TP = PQ}$ , όπου $Q\equiv CD\cap TP$ .

: Παραλογισμός.; f=178 t=72453.PNG (10.51 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

$\bullet$ Από $BC\parallel AD$ και BM = MC

έχουμε το ότι η δέσμη A.BMCD

είναι αρμονική.

Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία

και επομένως, η σημειοσειρά B,T,O,D

είναι αρμονική, με $O\equiv BD\cap AC$ .

Έτσι, η δέσμη C.BTOD

είναι επίσης αρμονική και από $TQ\parallel CB$ συμπεραίνεται ότι $\boxed{TP = PQ}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Παραλογισμός

Παραλογισμός

Re: Παραλογισμός

Re: Παραλογισμός

Re: Παραλογισμός

Re: Παραλογισμός

Re: Παραλογισμός

Μέλη σε σύνδεση