Τετράπλευρο για ελάχιστους λύτες

[cool geometry]

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο . Επί των πλευρών παίρνουμε τα σημεία , τέτοια ώστε . Οι τέμνονται στο και ας είναι το μέσον της . Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών του τετραπλεύρου .

[rek2]

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο . Επί των πλευρών παίρνουμε τα σημεία , τέτοια ώστε . Οι τέμνονται στο και ας είναι το μέσον της . Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών του τετραπλεύρου .

Την λύση (όχι υπόδειξη), παρακαλώ!!

Ευχαριστώ!

[gbaloglou]

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο . Επί των πλευρών παίρνουμε τα σημεία , τέτοια ώστε . Οι τέμνονται στο και ας είναι το μέσον της . Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών του τετραπλεύρου .

Την λύση (όχι υπόδειξη), παρακαλώ!!

Ευχαριστώ!

Παρακινούμενος από την απουσία κάποιας cool γεωμετρικής λύσης -- αλλά και από μυστηριώδες θετικό σχόλιο που έκανες σε άλλη συζήτηση, Κώστα -- είπα να το κοιτάξω, με τα σκληρά εργαλεία της αναλυτικής, σκεφτόμενος ότι ίσως προκύψουν υπέροχες γωνίες από αποτρόπαιους υπολογισμούς: προς το παρόν δεν συνέβη κάτι τέτοιο, αντίθετα οι 4 γωνίες που έβγαλα -- και που φαίνονται όλες 'περίπου σωστές' σε σχέση με το απλό σχήμα (με το χέρι) του προβλήματος -- έχουν άθροισμα λίγο παραπάνω από 381 μοίρες

... Δεν μπορώ παρά να επανέλθω, μπορεί και πολύ σύντομα, αυτά έχει η ζωή

[KARKAR]

Μία για λίγους.png (10.59 KiB) Προβλήθηκε 1348 φορές

Ο νόμος των συνημιτόνων στα τρίγωνα ή ( ) , δίνει : .

Ο ίδιος νόμος στο δίνει : , οπότε από την : ,

παίρνουμε : .

Δεν ισχυρίζομαι ότι έδωσα ολοκληρωμένη λύση , ( πάντως "σκότωσα" την ώρα εφαπτομένης )

[Henri van Aubel]

Πάντως, πιστεύω ότι η άσκηση δεν είναι για ελάχιστους λύτες. Πανεύκολη είναι, σιγά το δύσκολο, ποιο είναι το δύσκολο;; Τουλάχιστον βγαίνει το ωραίο ότι το τετράπλευρο MDFC είναι εγγράψιμο.

[rek2]

Είναι αλήθεια ότι δεν βρήκα κάτι που να δικαιολογεί τον τίτλο του θέματος. Ήλπιζα. Αλλά αφού δεν βρήκε ο Γιώργος ούτε ο Θανάσης μάλλον δεν υπάρχει κάτι περισσότερο από πράξεις ρουτίνας.

Ο θεματοδότης τι προτείνει;

[rek2]

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο . Επί των πλευρών παίρνουμε τα σημεία , τέτοια ώστε . Οι τέμνονται στο και ας είναι το μέσον της . Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών του τετραπλεύρου .

Την λύση (όχι υπόδειξη), παρακαλώ!!

Ευχαριστώ!

Παρακινούμενος από την απουσία κάποιας cool γεωμετρικής λύσης -- αλλά και από μυστηριώδες θετικό σχόλιο που έκανες σε άλλη συζήτηση, Κώστα -- είπα να το κοιτάξω, με τα σκληρά εργαλεία της αναλυτικής, σκεφτόμενος ότι ίσως προκύψουν υπέροχες γωνίες από αποτρόπαιους υπολογισμούς: προς το παρόν δεν συνέβη κάτι τέτοιο, αντίθετα οι 4 γωνίες που έβγαλα -- και που φαίνονται όλες 'περίπου σωστές' σε σχέση με το απλό σχήμα (με το χέρι) του προβλήματος -- έχουν άθροισμα λίγο παραπάνω από 381 μοίρες

... Δεν μπορώ παρά να επανέλθω, μπορεί και πολύ σύντομα, αυτά έχει η ζωή

Το σύμπαν, λοιπόν, Γιώργο, είναι "υπερβολικό"...

[gbaloglou]

Πάντως, πιστεύω ότι η άσκηση δεν είναι για ελάχιστους λύτες. Πανεύκολη είναι, σιγά το δύσκολο, ποιο είναι το δύσκολο;; Τουλάχιστον βγαίνει το ωραίο ότι το τετράπλευρο MDFC είναι εγγράψιμο.

Πάντως ούτε το είναι εγγράψιμο, καθώς έχει δύο απέναντι γωνίες αμβλείες και δύο απέναντι γωνίες οξείες. Κάποιες λεπτομέρειες:

Θέτοντας προκύπτουν οι

Χρησιμοποιώντας τώρα τον τύπο μέτρων και εσωτερικού γινομένου για το συνημίτονο προκύπτουν τα εξής:









Οι παραπάνω γωνίες και φαίνονται σωστές -- δείτε το σχήμα του Θανάση -- και αθροίζονται σε , άρα είναι εκτός μεγίστου απροόπτου σωστές. Η φύση των απαντήσεων αποκλείει κάποια 'όμορφη' γεωμετρική λύση. Για δυσκολία δεν τίθεται θέμα, είναι απλώς ζήτημα βασικών γνώσεων, χρόνου και προσοχής. Το είδος του προβλήματος που θα μπορούσε κάλλιστα κάποιος να συναντήσει στον λεγόμενο 'πραγματικό κόσμο' (real world)!

[Henri van Aubel]

Κύριε Μπαλόγλου έχετε δίκιο, προφανώς κάτι μου ξέφυγε να γράψω στο λογισμικό . Anyway... καλή συνέχεια.