Κάθετες ευθείες

#1

Έστω

το έγκεντρο τριγώνου ABC

και έστω

το ίχνος της καθέτου από το

στην

. Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC

τέμνει την ευθεία

ξανά στο

, και την ευθεία

ξανά στο

. Να δειχθεί ότι οι ευθείες

και

είναι κάθετες μεταξύ τους.

S.E.Louridas · #2

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:34 pm
Έστω το έγκεντρο τριγώνου και έστω το ίχνος της καθέτου από το στην . Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία ξανά στο , και την ευθεία ξανά στο . Να δειχθεί ότι οι ευθείες και είναι κάθετες μεταξύ τους.

Ας δούμε μία διαπραγμάτευση, ίσως λίγο παραβατική.

Έστω

το αντιδιαμετρικό του $A,\;\,N' \equiv A'I \cap \left( {O,R} \right)$ (περιεγραμμένος κύκλος),

το ύψος και $IT \bot AE.$ Τότε το AN'TI

είναι εγγράψιμο, οπότε $\angle TN'I = \angle TAI = \angle MAA' \Rightarrow T \in N'M.$

Αν $\displaystyle{D' \equiv BC \cap N'M,}$ έχουμε: $\displaystyle{\frac{{MD'}}{{D'T}} = \frac{{MK}}{r} = \frac{{MC}}{{AI}} = \frac{{MI}}{{AI}} \Rightarrow ID'\parallel AE \Rightarrow ID' \bot BC \Rightarrow}$

$D' \equiv D \Rightarrow N' \equiv N.$

Χρησιμοποιήθηκαν τα εξής:

$MC = MI,\;\,\vartriangle AIF \sim \vartriangle MKC\;\left( {K \in BC:BK = KC} \right),IF = r.$

: ΠΓ.png (96.94 KiB) Προβλήθηκε 2817 φορές

Lymperis Karras · #3

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:34 pm
Έστω το έγκεντρο τριγώνου και έστω το ίχνος της καθέτου από το στην . Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία ξανά στο , και την ευθεία ξανά στο . Να δειχθεί ότι οι ευθείες και είναι κάθετες μεταξύ τους.

Πρόκειται στην ουσία για ένα από τα μέρη της απόδειξης του λήμματος Sharkydevil Points.
Παραθέτω σχετικό σύνδεσμο: https://artofproblemsolving.com/communi ... evil_point

#4

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:34 pm
Έστω το έγκεντρο τριγώνου και έστω το ίχνος της καθέτου από το στην . Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία ξανά στο , και την ευθεία ξανά στο . Να δειχθεί ότι οι ευθείες και είναι κάθετες μεταξύ τους.

Είναι γνωστό ότι τα τόξα ${T_1}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{T_2}$ είναι ίσα επί πλέον δε , $MB = MC = MI\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Ας είναι

το σημείο τομής των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM$ . $\widehat {{a_1}} = \dfrac{{{T_2} + {T_3}}}{2} = \dfrac{{{T_1} + {T_3}}}{2} = \widehat {{a_2}}$ , άρα το τετράπλευρο ANDT

είναι εγγράψιμο $\left( 2 \right)$ .

: Κάθετες ευθείες.png (26.3 KiB) Προβλήθηκε 2741 φορές

Επειδή $\vartriangle BTM \approx ABM \Rightarrow \dfrac{{TM}}{{BM}} = \dfrac{{BM}}{{AM}} \Leftrightarrow B{M^2} = TM \cdot AM$ . Λόγω των $\left( 1 \right)$ και $\left( 2 \right)$ ,

$M{I^2} = MT \cdot MA = MD \cdot MI$ που μα εξασφαλίζει ότι $\vartriangle NIM \approx \vartriangle IDM$ ( έχουν και την $\widehat {{\phi _{}}}$ κοινή).

Έτσι $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}\left( { = \dfrac{{\widehat {{B_{}}} - \widehat {{C_{}}}}}{2}} \right)$ , άρα $\widehat {IDN} = \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {AIN}$ και το ζητούμενο φανερό .

Κάθετες ευθείες

Κάθετες ευθείες

Re: Κάθετες ευθείες

Re: Κάθετες ευθείες

Re: Κάθετες ευθείες

Μέλη σε σύνδεση