Παραμετρική εξίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση

$5x+ \dfrac{18}{\sqrt{x^2+36}}= a \sqrt{x^2+36}$

έχει τουλάχιστον μία λύση.

Edit: Έγινε διόρθωση τυπογραφικού στην υπόριζη ποσότητα, βλέπε επόμενες δημοσιεύσεις.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Η παρακάτω λύση είναι εκτός φακέλου.

H δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle \frac{5x}{\sqrt{x^{2}+36}}+\frac{18}{x^{2}+36}=a$

Θέτω $\displaystyle f\left ( x \right )=\frac{5x}{\sqrt{x^{2}+36}}+\frac{18}{x^{2}+36}, x\epsilon \mathbb{R}$

Bρίσκεται ότι η

είναι παραγωγίσιμη σε όλο το $\mathbb{R}$ με

$\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{180\sqrt{x^{2}+36}-36x}{\left ( x^{2}+36 \right )^{2}}> 0$ για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$

Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$

$\displaystyle{ \lim _{x \to +\infty}f\left ( x \right )=5$ και $\displaystyle{ \lim _{x \to -\infty}f\left ( x \right )=-5$

Άρα η γνησίως αύξουσα συνάρτηση

απεικονίζει το $\mathbb{R}$ στο $\left ( -5,5 \right )$

Άρα για κάθε τιμή της παραμέτρου $a\epsilon\left ( -5,5 \right )$ η δοσμένη εξίσωση έχει μία και μοναδική λύση.

Για οποιαδήποτε άλλη τιμή της παραμέτρου

η δοσμένη εξίσωση στερείται λύσεων.

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 02, 2022 2:01 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση

$5x+ \dfrac{18}{\sqrt{x^2+36}}= a \sqrt{x^2+{\color{red}16}}$

έχει τουλάχιστον μία λύση.

Υποθέτω ότι το ${\color {red}16}$ στο δεξί μέλος είναι τυπογραφικό σφάλμα (ανθρώπινο) στην θέση του

(ανθρώπινο).

Ααααααχ.

Η λύση του Τηλέμαχου θεωρεί σωστό το

. Είχε δηλαδή την διορατικότητα να δει την πραγματική άσκηση.

Ο ίδιος το έκανα με

αντί

και περιέργως βγάζει την ίδια απάντηση, (-5,5)

, αλλά οι πράξεις είναι πάρα πολλές και γι' αυτό δεν έγραψα την λύση. Πάλι η εν λόγω συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα αλλά η παραγώγιση βγάζει μπελαλίδικη συνάρτηση. Το γεγονός ότι οι δύο απαντήσεις είναι ίδιες παρά την διαφορά εξηγείται γιατί η τελική απάντηση προκύπτει από το όριο στα $\pm \infty$ παραστάσεων όπως $\dfrac {1}{\sqrt {x^2+16}}$ και $\dfrac {1}{\sqrt {x^2+36}}$ , τα οποία είναι ίσα.

Al.Koutsouridis · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 03, 2022 9:03 am

Υποθέτω ότι το ${\color {red}16}$ στο δεξί μέλος είναι τυπογραφικό σφάλμα (ανθρώπινο) στην θέση του (ανθρώπινο).

Ααααααχ.

Η λύση του Τηλέμαχου θεωρεί σωστό το . Είχε δηλαδή την διορατικότητα να δει την πραγματική άσκηση.

Ναι, το σώστο είναι

, απορώ πως μου ξέφυγε. Θα κάνω την διόρθωση στην αρχική ανάρτηση.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Ευκαιρίας δοθείσης, να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τον πλούτο των θεμάτων που έχει προτείνει στο forum. Πολλά από αυτά τα θέματα προέρχονται από πηγές που είναι γραμμένες σε γλώσσες που ουδέποτε είχα το χρόνο να μελετήσω.
Το εκτιμούμε ειλικρινά Αλέξανδρε...

#6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 03, 2022 2:15 pm
Ευκαιρίας δοθείσης, να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τον πλούτο των θεμάτων που έχει προτείνει στο forum. Πολλά από αυτά τα θέματα προέρχονται από πηγές που είναι γραμμένες σε γλώσσες που ουδέποτε είχα το χρόνο να μελετήσω.
Το εκτιμούμε ειλικρινά Αλέξανδρε...

Πράγματι, ανεκτίμητα τα θέματα του Αλέξανδρου, και υψηλής αισθητικής. Ένα μεγάλο ευχαριστώ και από εμένα.

S.E.Louridas · #7

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 03, 2022 2:15 pm
Ευκαιρίας δοθείσης, να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τον πλούτο των θεμάτων που έχει προτείνει στο forum. Πολλά από αυτά τα θέματα προέρχονται από πηγές που είναι γραμμένες σε γλώσσες που ουδέποτε είχα το χρόνο να μελετήσω.
Το εκτιμούμε ειλικρινά Αλέξανδρε...

Απολύτως σύμφωνος για τον Αλέξανδρο, και όχι μόνο πλούτος θεμάτων αλλά και ποιότητα.

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 02, 2022 2:01 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση
$5x+ \dfrac{18}{\sqrt{x^2+36}}= a \sqrt{x^2+36}$
έχει τουλάχιστον μία λύση.

Γεια σας και Καλό καλοκαίρι. Ας δούμε και την άποψη:

Θεωρούμε $x = 6\tan t,$ οπότε καταλήγουμε, ανάλογα με το πρόσημο του $\cos t$ στην επίλυση των ${\sin ^2}t \pm 10\sin t + 2a - 1 = 0,\;$ $\left| {\sin t} \right| \leqslant 1$ και $\Delta \geqslant 0.$ Έτσι, μετά από στοιχειώδεις πράξεις στις δύο τελευταίες παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα με τον Τηλέμαχο δηλαδή $a \in \left( { - 5,5} \right).$

Παραμετρική εξίσωση

Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση