Συνεχής συνάρτηση και Riemann ολο/τα

[ryzogalopap]

Καλησπέρα ,
Στην απόδειξη της Riemann ολο/τας μια συνεχής συνάρτησης σε σύνολο Α=[(χ,y):a1<=X<=a2,φ1(χ)<=y<=φ2(χ) με φi(χ) συνεχής για κάθε χ] έχω κολλήσει στο εξής :
Έστω Α=[(χ,y):a1<=X<=a2,φ1(χ)<=y<=φ2(χ) με φi(χ) συνεχής για κάθε χ] και f:Α-->R συνεχής στο Α για πρίσμα Π υπερσύνολο του Α όπου

fA(P)=[(f(p) για p που ανήκει στο Α) και (0 για p που ανήκει στο Π-Α)] τα πιθανά σημεία ασυνέχειας της fA στο Π είναι τα σημεία του συνόρου του Α .

Γιατί το σύνολο των σημείων του ασυνέχειας της fA στο Π είναι σύνολο μηδενικού μέτρου lebesque ;

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα ,
Στην απόδειξη της Riemann ολο/τας μια συνεχής συνάρτησης σε σύνολο Α=[(χ,y):a1<=X<=a2,φ1(χ)<=y<=φ2(χ) με φi(χ) συνεχής για κάθε χ] έχω κολλήσει στο εξής :
Έστω Α=[(χ,y):a1<=X<=a2,φ1(χ)<=y<=φ2(χ) με φi(χ) συνεχής για κάθε χ] και f:Α-->R συνεχής στο Α για πρίσμα Π υπερσύνολο του Α όπου

fA(P)=[(f(p) για p που ανήκει στο Α) και (0 για p που ανήκει στο Π-Α)] τα πιθανά σημεία ασυνέχειας της fA στο Π είναι τα σημεία του συνόρου του Α .

Γιατί το σύνολο των σημείων του ασυνέχειας της fA στο Π είναι σύνολο μηδενικού μέτρου lebesque ;

Θα σε παρακαλέσω να γράψεις το ποστ σε latex γιατί όπως είναι δεν μπορώ να καταλάβω τι γράφεις. Το απαιτεί άλλωστε ο κανονισμός μας ακριβώς για να είναι κατανοητά τα σύμβολα.

Επίσης έχω σχετικό πρόβλημα με τις ασυνταξίες, αλλά εκεί βγάζω άκρη και χωρίς διόρθωση.

[ryzogalopap]

Κατανοητό και λογικό ελπίζω να είναι πιο εύληπτο.
Έστω όπου gi συνεχής για κάθε χ και
συνεχής στο Α .Για πρίσμα
ορίζεται

τα πιθανά σημεία ασυνέχειας της fA στο Π είναι τα σημεία .
Γιατί το σύνολο των σημείων του ασυνέχειας της fA στο Π είναι σύνολο μηδενικού μέτρου lebesque ;

[grigkost]

Ουσιαστικά το ερώτημα δεν έχει σχέση με την συνάρτηση, αλλά με το τι είναι το σύνορο . Ακόμα κι αν η είναι παντού ασυνεχής στο , το είναι μηδενικού μέτρου. Γιατί;

[Mihalis_Lambrou]

Για πρίσμα

.
Υποθέτω ότι αντί για πρίσμα (που εδώ δεν έχει νόημα) εννοείς παραλληλόγραμμο.

Επί της ουσίας τώρα: Ο Γρηγόρης σου προσδιόρισε τι πρέπει να εξετάσεις. Αν δεν βγάλεις άκρη, μία ακόμη υπόδειξη:
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αφού η είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα, είναι ομοιόμορφα συνεχής. Έστω τώρα . Χρησιμοποίησε την ομοιόμορφη συνέχεια για να βρεις παραλληλογραμμάκια συνολικού εμβαδού το πολύ που καλύπτουν το γράφημα της . Συνέχισε.

[ryzogalopap]

Για πρίσμα

.
Υποθέτω ότι αντί για πρίσμα (που εδώ δεν έχει νόημα) εννοείς παραλληλόγραμμο.

Επί της ουσίας τώρα: Ο Γρηγόρης σου προσδιόρισε τι πρέπει να εξετάσεις. Αν δεν βγάλεις άκρη, μία ακόμη υπόδειξη:
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αφού η είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα, είναι ομοιόμορφα συνεχής. Έστω τώρα . Χρησιμοποίησε την ομοιόμορφη συνέχεια για να βρεις παραλληλογραμμάκια συνολικού εμβαδού το πολύ που καλύπτουν το γράφημα της . Συνέχισε.

Πρέπει δηλαδή να εφαρμόσω τον ορισμό του συνόλου μηδενικού μέτρου lebesque επί μέρους των πλευρών του Α ;
Ειρήσθω εν παρόδω , δεν μπορούμε να απαντήσουμε λέγοντας ότι η f είναι Riemann ολ/μη στο κλειστό Α σαν συνεχής και φραγμένη ;

[grigkost]

Πρέπει δηλαδή να εφαρμόσω τον ορισμό του συνόλου μηδενικού μέτρου lebesque επί μέρους των πλευρών του Α ;

Ναι. Να σημειώσουμε ότι είναι κρίσιμο το ότι το είναι σύνορο ενός κανονικού χωρίου. Γιατί;

[ryzogalopap]

Πρέπει δηλαδή να εφαρμόσω τον ορισμό του συνόλου μηδενικού μέτρου lebesque επί μέρους των πλευρών του Α ;

Ναι. Να σημειώσουμε ότι είναι κρίσιμο το ότι το είναι σύνορο ενός κανονικού χωρίου. Γιατί;

Γιατί το Α είναι πεπερασμένο

[Mihalis_Lambrou]

Γιατί το Α είναι πεπερασμένο

Κανείς δεν το ισχυρίστηκε αυτό.

Μήπως εννοείς κάτι άλλο; Π.χ. φραγμένο; Πεπερασμένου μέτρου; Κάτι άλλο;

[grigkost]

Πρέπει δηλαδή να εφαρμόσω τον ορισμό του συνόλου μηδενικού μέτρου lebesque επί μέρους των πλευρών του Α ;

Ναι. Να σημειώσουμε ότι είναι κρίσιμο το ότι το είναι σύνορο ενός κανονικού χωρίου. Γιατί;

Γιατί το Α είναι πεπερασμένο

Τι σημαίνει "το είναι πεπερασμένο;" Μόνο πεπερασμένο δεν είναι!

[ryzogalopap]

Πρέπει δηλαδή να εφαρμόσω τον ορισμό του συνόλου μηδενικού μέτρου lebesque επί μέρους των πλευρών του Α ;

Ναι. Να σημειώσουμε ότι είναι κρίσιμο το ότι το είναι σύνορο ενός κανονικού χωρίου. Γιατί;

Γιατί το Α είναι πεπερασμένο

Τι σημαίνει "το είναι πεπερασμένο;" Μόνο πεπερασμένο δεν είναι!

Λάθος μου , φυσικά και το Α δεν είναι πεπερασμένο ούτε καν αριθμήσιμο εννοούσα φραγμένo ( συνεπώς και πεπερασμένου μέτρου ) και επειδή είναι και μέτρου jordan (λόγω και της χαρακτηριστικής του A) το είναι μηδενικού μέτρου.