Ορθή γωνία.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 78.png (9.83 KiB) Προβλήθηκε 2682 φορές

Στο παραπάνω σχήμα τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα.
Δείξτε ότι $\angle ADC=90^{0}$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 9:19 pm
78.png
Στο παραπάνω σχήμα τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα.
Δείξτε ότι $\angle ADC=90^{0}$ .

: Ορθή γωνία.png (32.01 KiB) Προβλήθηκε 2655 φορές

Έστω

το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας $\angle DBC$ με την εκ του

κάθετη στην

και ας είναι $F\equiv BE\cap CD$ . Τότε προφανώς το τρίγωνο $\vartriangle BAE$ είναι ισοσκελές (

ευθεία του ύψους του και της διχοτόμου του (αφού $\angle DBE=\frac{2\theta }{2}=\theta =\angle ABD$ ) ) και συνεπώς $EB=AB=DC:\left( 1 \right)$ και $\angle DEB\overset{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,BD}{\mathop{=}}\,\angle DAB={{18}^{0}}=\angle DCB\Rightarrow BDEC$ εγγράψιμο σε κύκο και με ίσες διαγώνιες (από την $\left( 1 \right)\Rightarrow BDEC$ ισοσκελές τραπέζιο άρα $FB=FC\Rightarrow \angle \theta ={{18}^{0}}$ και προφανώς το

είναι το περίκεντρο του $\vartriangle ABE\Rightarrow \angle ADE=2\left( \angle ABE \right)=4\theta ={{72}^{0}}\overset{\angle EDC={{18}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle ADC={{90}^{0}}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 9:19 pm
78.png

Στο παραπάνω σχήμα τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα.
Δείξτε ότι $\angle ADC=90^{0}$ .

Σχηματίζοντας το παραλ/μμο ABZD

θα έχουμε $\angle BZD=18^0 \Rightarrow DBZC$ εγγράψιμμο

Επειδή $DC=AB=DZ\Rightarrow 2 \theta =18^0+ \theta \Rightarrow \angle \vartheta =18^0$

Τότε, $\angle ZDA=162^0$ και $\angle ZDC=108^0$ ,άρα $\angle ADC=90^0$

: Ορθή γωνία.png (30.66 KiB) Προβλήθηκε 2643 φορές

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 9:19 pm
78.png

Στο παραπάνω σχήμα τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα.
Δείξτε ότι $\angle ADC=90^{0}$ .

Από τον Νόμο των Ημιτόνων στα $AOB,\, COB$ έχουμε αντίστοιχα

$\dfrac {AB}{\sin (\theta + 18)} = \dfrac {BD}{\sin 18}$ και $\dfrac {CD}{\sin (2\theta )} = \dfrac {BD}{\sin 18}$ . Άρα

$\dfrac {AB}{\sin (\theta + 18)} =\dfrac {CD}{\sin (2\theta)}$ . Αλλά AB=CD

, οπότε $\sin (\theta + 18)} =\sin (2\theta)$ . Άρα $\theta + 18 =2\theta$ από όπου $\theta = 18$ .

Άρα οι δύο αμβλείες γωνίες των τριγώνων έχουν άθροισνα $(180-18 -\theta )+(180-18-2\theta)= 360 - 5\cdot 18 = 270$ . από όπου το ζητούμενο.

#5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 9:19 pm
78.png

Στο παραπάνω σχήμα τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα.
Δείξτε ότι $\angle ADC=90^{0}$ .

Έστω

οι προβολές των D, B

στις

αντίστοιχα.

: Ορθή γωνία.Φ.png (10.6 KiB) Προβλήθηκε 2618 φορές

Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα EDC, FBA

είναι ίσα, οπότε BF=DE

κι επειδή το DE FB

είναι εγγράψιμο

θα είναι: $\displaystyle 2\theta = \omega = \theta + 18^\circ \Leftrightarrow \theta = 18^\circ.$ Εύκολα τώρα $\displaystyle C\widehat DB = 126,B\widehat DA = 144 \Rightarrow$ $\boxed{A\widehat DC=90^\circ}$

#6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 9:19 pm
78.png

Στο παραπάνω σχήμα τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα.
Δείξτε ότι $\angle ADC=90^{0}$ .

Από τα

φέρνω παράλληλα και ίσα ευθύγραμμα τμήματα προς την DC = AB = k

, τα

Το τετράπλευρο ABEF

είναι ρόμβος και τα $ADCF\,\,,\,\,BDCE$ παραλληλόγραμμα ,

Τα τρίγωνα $ADB\,\,,\,\,FCE$ είναι ίσα και $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}}\,\,\,,\,\,\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} = 30^\circ$ . Το τετράπλευρο BFCE

είναι εγγράψιμο .

: Ορθή γωνία_Φάνης.png (36.1 KiB) Προβλήθηκε 2611 φορές

Μετά απ’ αυτά προκύπτουν αβίαστα : $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} = 30^\circ$ και το $\boxed{k = {\lambda _5}}$ στον κύκλο $\left( {B,F,C,E} \right)$ ενώ τα $FC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ είναι πλευρές κανονικού δεκαγώνου .

Από το $\vartriangle BFC$ προκύπτει ότι , $\widehat {BCF} = 108^\circ$ και άρα το τετράπλευρο FCDA

είναι ορθογώνιο.

cool geometry · #7

$AB=x, \frac{x}{\cos (y+18^{0})}=\frac{DB}{\cos18 ^{0}}=\frac{x}{\cos 2y}\Rightarrow \cos (y+18^{0})=\cos 2y$
άρα $y=18^{0}\Rightarrow \angle ADB=144^{0},\angle CDB=126^{0}\Rightarrow \angle ADC=90^{0}.$ και η απόδειξη τελείωσε.

Ορθή γωνία.

Ορθή γωνία.

Re: Ορθή γωνία.

Re: Ορθή γωνία.

Re: Ορθή γωνία.

Re: Ορθή γωνία.

Re: Ορθή γωνία.

Re: Ορθή γωνία.

Μέλη σε σύνδεση