Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Gdb5678 · #1

Καλησπέρα, θα μπορούσατε να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση ;
Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει ότι: $e^{f(x)}+f(x)= x, \forall x \epsilon \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η f(x)

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$
Προσπάθησα να θέσω όπου x το xo και να αφαιρέσω κατά μέλη αλλά δεν είχε αποτέλεσμα.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων
Κώστας

#2

Gdb5678 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 20, 2022 10:30 pm
Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει ότι: $e^{f(x)}+f(x)= x, \forall x \epsilon \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Επειδή η άσκηση είναι πιθανότατα εργασία στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς και επειδή δεν θέλουμε να παρακάμψουμε τους Δασκάλους σου, θα δώσω μόνο υπόδειξη.

Θέσε F(x) = e^x+x

και μετά δείξε ότι η

είναι αντιστρέψιμη. Επίσης ισχύει F(f(x)) = x

, δηλαδή $f(x) = F ^{-1}(x)$ .

Συνέχισε.

Θα χαρούμε να δούμε δώ την λύση σου.

Gdb5678 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Απρ 20, 2022 10:53 pm

Gdb5678 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 20, 2022 10:30 pm
Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει ότι: $e^{f(x)}+f(x)= x, \forall x \epsilon \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Επειδή η άσκηση είναι πιθανότατα εργασία στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς και επειδή δεν θέλουμε να παρακάμψουμε τους Δασκάλους σου, θα δώσω μόνο υπόδειξη.

Θέσε και μετά δείξε ότι η είναι αντιστρέψιμη. Επίσης ισχύει , δηλαδή $f(x) = F ^{-1}(x)$ .

Συνέχισε.

Θα χαρούμε να δούμε δώ την λύση σου.

Σας ευχαριστώ πολύ για την άμεση απάντηση. Η αλήθεια είναι ότι το είχα δοκιμάσει αυτό και με μελέτη μονοτονίας κατέληξα στο ότι η

, η οποία είναι η αντιστροφή της

εχει θετική παραγωγο (διάφορη του μηδενός $\forall x\epsilon \mathbb{R}$ ). Συνεπώς και η αντιστροφη της,

θα είναι παραγωγίσιμη. Ωστόσο δεν ξέρω κατά πόσο "νόμιμη" είναι η λύση αυτή στα πλαίσια της Γ' λυκείου και αν χρειάζεται απόδειξη για να χρησιμοποιηθει.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

[/quote]
Σας ευχαριστώ πολύ για την άμεση απάντηση. Η αλήθεια είναι ότι το είχα δοκιμάσει αυτό και με μελέτη μονοτονίας κατέληξα στο ότι η

, η οποία είναι η αντιστροφή της

εχει θετική παραγωγο (διάφορη του μηδενός $\forall x\epsilon \mathbb{R}$ ). Συνεπώς και η αντιστροφη της,

θα είναι παραγωγίσιμη. Ωστόσο δεν ξέρω κατά πόσο "νόμιμη" είναι η λύση αυτή στα πλαίσια της Γ' λυκείου και αν χρειάζεται απόδειξη για να χρησιμοποιηθει.
[/quote]

Δεν σου χρειάζεται το γενικό αποτέλεσμα εδώ. Δούλεψε με τη συγκεκριμένη συνάρτηση που έχεις. Δίνω μια συνέχεια της υπόδειξης του κ.Λάμπρου.

Από το ΘΜΤ στο διάστημα [x,y]

είναι $|F(x)-F(y)|=|{F}'(\xi )||(x-y)|$ για κάποιο $\xi \in(x,y).$

Όμως $e^x+1<{F}'(\xi )<e^y+1$ και επομένως (e^x+1)|x-y|<|F(x)-F(y)|<(e^y+1)|x-y|

.

Θέσε $x\rightarrow f(x),y\rightarrow f(y)$ για να πάρεις

$(e^{f(x)}+1)|f(x)-f(y)|<|x-y|<(e^{f(y)}+1)|f(x)-f(y)|$ . Προχώρα.

Θα χρειαστείς την συνέχεια της $f=F^{-1}$ την οποία θα πάρεις από την $|F(x)-F(y)|=(e^\xi+1)|x-y|>|x-y|$ θέτοντας....

Γράψε μας τη λύση σου.

Gdb5678 · #5

Φαντάζομαι κάπως πρέπει να εμφανίσω το $\lim_{x\rightarrow y} [f(x)-f(y)]=0$ για τη συνέχεια.
Θέτοντας $x\rightarrow f(x), y\rightarrow f(y)$ στη τελευταία σχέση και παίρνοντας όρια έχουμε: $\lim_{x\rightarrow y} [f(x)-f(y)]\geq \lim_{x\rightarrow y}(x-y)=0$ . Όμοια από την πάνω σχέση παίρνω ότι : $\lim_{x\rightarrow y} [f(x)-f(y)]\leq \lim_{x\rightarrow y}(\frac{x-y}{e^{f(y)}+1}) =0$ επομένως $\lim_{x\rightarrow y} f(x)=f(y)$ δηλαδή η f είναι συνεχής.
Μπορώ να κάνω και κάτι αντίστοιχο δηλαδη $\lim_{x\rightarrow y} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ και στην παραπάνω σχέση ;
Μάλλον μπερδεύτηκα κάπως παραπάνω τώρα

#6

Gdb5678 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 1:55 am
$\lim_{x\rightarrow y} [f(x)-f(y)]\geq \lim_{x\rightarrow y}(x-y)=0$ .

Η παραπάνω ανισότητα και η

Gdb5678 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 1:55 am
$\lim_{x\rightarrow y} [f(x)-f(y)]\leq \lim_{x\rightarrow y}(\frac{x-y}{e^{f(y)}+1}) =0$

δεν είναι συμβατές. Προϋποθέτουν ότι $\displaystyle{ \frac{|x-y|}{e^{f(y)}+1} \ge |x-y|}$

που δεν είναι σωστή.

Με κάποιες μικροαλλαγές σε αυτά που γράφεις μπορείς να δείξεις την συνέχεια, αλλά όπως είναι τώρα δεν είναι σωστά.

Επίσης έχεις ξεχάσει τα απόλυτα (στα παραπάνω, τα έβαλα εγώ).

Θα χαρούμε να δούμε τις διορθώσεις σου μια και είσαι σε σωστό μονοπάτι.

Gdb5678 · #7

Καλημέρα ! Με τη χρήση των απολύτων βγάζει πιο πολύ νόημα τωρα. Στη τελευταία σχέση θέτοντας όπου $x\rightarrow f(x), y\rightarrow f(y)$ παίρνουμε ότι |x-y|> |f(x)-f(y)|

δηλαδή $-|x-y|<f(x)-f(y)<|x-y| \Rightarrow \lim_{x\rightarrow y}[-|x-y|]\leq \lim_{x\rightarrow y}[f(x) -f(y)] \leq \lim_{x\rightarrow y}|x-y|$ και από κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε τη συνέχεια. Για τη παραγωγισιμοτητα θα πρέπει με κάποιο τρόπο να δειξω πως το $\lim_{x\rightarrow y} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Επιπλέον γνωρίζουμε πως η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιμη, μπορεί να φανεί κάπου χρήσιμο αυτό το δεδομένο ;

#8

Gdb5678 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 2:33 pm
$x\rightarrow f(x), y\rightarrow f(y)$

Αυτό είναι πιο λάθος από πριν. Πρώτα απ' όλα αν έθετες f(x)

στην θέση του

θα έπρεπε μετά να δούμε μία σχέση που έχει τον όρο f(f(x))

, αλλά δεν έγραψες κάτι τέτοιο.

Ξαναδές το αλλά αυτή την φορά πιο κοντά στο πνεύμα της αρχικής σου απάντησης.

Gdb5678 · #9

Έθεσα στην τελευταία σχέση του κ. Κατσάπα

#10

Gdb5678 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 2:54 pm
Έθεσα στην τελευταία σχέση του κ. Κατσάπα

Τώρα είναι ΑΚΟΜΑ ΑΚΟΜΑ πιο λάθος γιατί έθεσες όπου

το

μόνο σε έναν όρο αλλά κράτησες τον άλλο με

.

Και μία παράκληση: Πριν απαντήσεις α) διάβασε ΜΕ ΠΡΟΣΟΧΗ τις υποδείξεις, β) αφιέρωσε αρκετή σκέψη πριν γράψεις δημοσία τον συλλογισμό σου. Από ότι αντιλαμβάνομαι, απαντάς αυθόρμητα, χωρίς να πολυσκεφτείς. Ο αυθορμητισμός είναι ωραίο χάρισμα και πλεονέκτημα σε πολλές περιστάσεις, και μπράβο σου που το κατέχεις, αλλά εδώ λειτουργεί αρνητικά. Μένουμε σε στασιμά νερά.

Gdb5678 · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 3:11 pm

Gdb5678 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 2:54 pm
Έθεσα στην τελευταία σχέση του κ. Κατσάπα
Τώρα είναι ΑΚΟΜΑ ΑΚΟΜΑ πιο λάθος γιατί έθεσες όπου το μόνο σε έναν όρο αλλά κράτησες τον άλλο με .

Και μία παράκληση: Πριν απαντήσεις α) διάβασε ΜΕ ΠΡΟΣΟΧΗ τις υποδείξεις, β) αφιέρωσε αρκετή σκέψη πριν γράψεις δημοσία τον συλλογισμό σου. Από ότι αντιλαμβάνομαι, απαντάς αυθόρμητα, χωρίς να πολυσκεφτείς. Ο αυθορμητισμός είναι ωραίο χάρισμα και πλεονέκτημα σε πολλές περιστάσεις, και μπράβο σου που το κατέχεις, αλλά εδώ λειτουργεί αρνητικά. Μένουμε σε στασιμά νερά.

Όχι όχι. Αφού έθεσα η σχέση αυτή πήρε τη μορφή |F(f(x))-F(f(y))|>|f(x)-f(y)|

όμως το

(αντίστοιχα και το άλλο) από την εκφώνηση και προκύπτει όντως η σχέση που έγραψα παραπάνω

#12

Μάλλον έχεις δίκιο. Θα το ξαναδώ, και ζητώ συγνώμη αν έκανα λάθος.

Christos.N · #13

H $h(x)=e^x+x,~,x\on\mathbb{R}$ έχει όλα τα καλά , γνησίως αύξουσα, αμφιμονοσήμαντη . αντιστρέψιμη , συνεχής , παραγωγίσιμη με παράγωγο διάφορη του μηδέν.

Αν δείξουμε ότι η αντίστροφή είναι παραγωγίσιμη νομίζω τελειώνουμε.

$h(f(x))=x\Leftrightarrow f(x)=h^{-1}(x)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #14

Γίνεται χωρίς αντίστροφη και χωρίς Θ.Μ.Τ

Η

είναι 1-1(εύκολο)
Επειδή αν $\displaystyle f(x)>f(y)$ τότε $\displaystyle e^{f(x)}+f(x)>e^{f(y)}+f(y)$ δηλαδή x>y

η

είναι γνησίως αύξουσα.

Θα δείξουμε ότι είναι συνεχής.
Εστω $a\in \mathbb{R}$
Για x>a

είναι
$\displaystyle x-a=e^{f(x)}+f(x)-e^{f(a)}-f(a)=f(x)- f(a)+(e^{f(x)}-e^{f(a)})\geq f(x)- f(a)\geq 0$

Εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε ότι είναι από δεξιά συνεχής.
Με τον ίδιο τρόπο παίρνουμε ότι είναι και από αριστερά συνεχής.
Την σχέση
$\displaystyle x-a=f(x)- f(a)+(e^{f(x)}-e^{f(a)})$

Την γράφουμε στην μορφή
$\displaystyle 1=\frac{f(x)- f(a)}{x-a}+\frac{e^{f(x)}-e^{f(a)}}{f(x)- f(a)}\frac{f(x)- f(a)}{x-a}$

οπότε είναι

$\displaystyle \frac{f(x)- f(a)}{x-a}=\frac{1}{1+\frac{e^{f(x)}-e^{f(a)}}{f(x)- f(a)}}$

Από την τελευταία παίρνοντας $x\rightarrow a$
οπότε λόγω συνέχειας $f(x)\rightarrow f(a)$
παίρνουμε οτι η παράγωγος υπάρχει και μάλιστα είναι

$\displaystyle f'(a)=\frac{1}{1+e^{f(a)}}$

Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση