Ώρα εφαπτομένης 128

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 128.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Κατασκευάσαμε (πώς ; ) ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, στο οποίο φέραμε το ύψος

και την διχοτόμο

. Αν είναι : $ED \parallel AB$ , υπολογίστε την : $\tan \hat{C}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 31, 2022 7:24 pm
Ώρα εφαπτομένης 128.pngΚατασκευάσαμε (πώς ; ) ένα ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο φέραμε το ύψος

και την διχοτόμο . Αν είναι : $ED \parallel AB$ , υπολογίστε την : $\tan \hat{C}$

: Ώρα εφαπτομένης 128.png (26.98 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές

$\boxed{\tan B = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} = \sqrt \varphi }$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ!

: 31-3 tan 128.png (121.75 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Έχουμε $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{c}{a}\Rightarrow \dfrac{BD}{a}=\dfrac{c}{c+a}$ , αλλά και $BD=\dfrac{c^{2}}{a}$ .

Προκύπτει $a^{2}=ac+c^{2}$ ή $(\dfrac{c}{a})^{2}+\dfrac{c}{a}-1=0$ άρα $sinC=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\Phi }$ οπότε $tanC= \Phi ^{-1/2}$ .

Για την κατασκευή ίσως ο KARKAR να πήρε ...

... τις κάθετες (πάνω απ΄το όνομά μου , αριστερά) τη μικρή ως

και την μεγάλη ως υποτείνουσα..εννοείται πως έχει ελεύθερη πρόσβαση διαρκείας..

Φιλικά, Γιώργος

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 31, 2022 7:24 pm
Ώρα εφαπτομένης 128.pngΚατασκευάσαμε (πώς ; ) ένα ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο φέραμε το ύψος

και την διχοτόμο . Αν είναι : $ED \parallel AB$ , υπολογίστε την : $\tan \hat{C}$

Θεωρώ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το μέσο

του

και ( χωρίς βλάβη της γενικότητας ) $\boxed{\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow i }$ .

Επειδή DB = DE

το σημείο

από το σταθερό σημείο $B\left( {3,0} \right)$ και την σταθερή ευθεία με εξίσωση : x = - 3

.

Έτσι ανήκει ταυτόχρονα στην παραβολή με εξίσωση , ${y^2} = 12x$ και στο άνω ημικύκλιο με εξίσωση , ${x^2} + {y^2} = 9$ . Το σημείο τομής του $D\left( {3\sqrt 5 - 6,6\sqrt {\sqrt 5 - 2} } \right)$ .

: Ώρα εφαπτομένης 128.png (26.98 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Η τομή της ευθείας

με τη διευθετούσα είναι το $C\left( { - 3,3\sqrt {2\left( {\sqrt 5 + 1} \right)} } \right)$ οπότε:

$\boxed{\tan C = \frac{6}{{3\sqrt {2\left( {\sqrt 5 + 1} \right)} }} = \sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} = \sqrt {\frac{1}{\varphi }} }$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό Μήνα! Επανέρχομαι με αφορμή την ως άνω λύση του Νίκου που μου άρεσε ιδιαίτερα

για δύο λόγους: Για την αναφορά στον Γεωμετρικό ορισμό της παραβολής που διδάσκουμε αυτή την εποχή στα σχολεία

αλλα και στη σχέση BD=DE

που ..ωθεί για μια ακόμη λύση-κατασκευή

: 1-4 tan 128.png (162.8 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

Γίνεται φανερό πως τα τρίγωνα BAD

και

είναι ίσα άρα DC=AB

. Έστω

και

.Από το Θ. Ευκλείδη είναι $AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow x^{2}=x+1\Rightarrow x=\Phi$ . Ακόμη $AD^{2}=BD\cdot DC=\Phi$

επομένως $tan\theta =\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{1}{\sqrt{\Phi }}$ .

Για την κατασκευή χωρίζουμε με το

σε μέσο και άκρο λόγο το τμήμα

και η κάθετη στο

τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

..

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 31, 2022 7:24 pm
Ώρα εφαπτομένης 128.pngΚατασκευάσαμε (πώς ; ) ένα ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο φέραμε το ύψος

και την διχοτόμο . Αν είναι : $ED \parallel AB$ , υπολογίστε την : $\tan \hat{C}$

Τα ορθογώνια τρίγωνα DAB, ECD

είναι ίσα, οπότε $\displaystyle DC = c \Leftrightarrow$ $\boxed{b^2=ac}$ (1)

: Ώρα εφαπτομένης.128.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

$\displaystyle {\tan ^2}C = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{c}{a} = \sin C = \frac{{\tan C}}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}C} }} \Leftrightarrow {\tan ^4}C + {\tan ^2}C - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan C = \frac{1}{{\sqrt \Phi }} }$

Η κατασκευή του τριγώνου, όπως ο Φίλτατος Γιώργος (#5) .

Ώρα εφαπτομένης 128

Ώρα εφαπτομένης 128

Re: Ώρα εφαπτομένης 128

Re: Ώρα εφαπτομένης 128

Re: Ώρα εφαπτομένης 128

Re: Ώρα εφαπτομένης 128

Re: Ώρα εφαπτομένης 128

Μέλη σε σύνδεση