Κατά παράγοντες

KARKAR · #1

Λύστε - στο $\mathbb{R}$ - την εξίσωση : (x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=80

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 27, 2022 8:46 pm
Λύστε - στο $\mathbb{R}$ - την εξίσωση :

Γράφεται

ισοδύναμα

ή

. Άρα

ή

. Κατόπιν λύνουμε τις

x^2-9x+18 =8

και

. Πραγματικές ρίζες οι $\dfrac {1}{2} (9\pm \sqrt {41})$ , από την πρώτη.

Μάλλον χιλιοειπωμένη άσκηση εντός και εκτός φόρουμ.

M.S.Vovos · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 27, 2022 9:28 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 27, 2022 8:46 pm
Λύστε - στο $\mathbb{R}$ - την εξίσωση :
Μάλλον χιλιοειπωμένη άσκηση εντός και εκτός φόρουμ.

Υπάρχει και σχετικός μετασχηματισμός.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\left ( x-3 \right )\left ( x-6 \right )\left ( x-4 \right )\left ( x-5 \right )=80\Leftrightarrow$

$\left ( x^{2}-9x++18 \right )\left ( x^{2} -9x+20\right )=80\Leftrightarrow$

$\left ( x^{2}-9x++18 \right ) \left [ \left ( x^{2}-9x++18 \right )+2 \right ]=80\Leftrightarrow$

$\left ( x^{2}-9x++18 \right )^{2} +2\left ( x^{2}-9x++18 \right )=80 \Leftrightarrow$

$\left ( x^{2}-9x++18 \right )^{2} +2\left ( x^{2}-9x++18 \right )+1=81 \Leftrightarrow$

$\left [ \left ( x^{2} -9x+18\right )+1 \right ]^{2}=81\Leftrightarrow$

$\left ( x^{2}-9x+19 \right )^{2}=81$

Ισοδύναμα προκύπτουν οι εξισώσεις

$x^{2}-9x+19 =9, x^{2}-9x+19 =-9$

Η πρώτη γράφεται ως $x^{2}-9x+10=0$ και έχει ως λύσεις τους αριθμούς $\displaystyle\frac{9+\sqrt{41}}{2},\frac{9-\sqrt{41}}{2}$

Η δεύτερη γράφεται ως $x^{2}-9x+28=0$ , είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$ αλλά στο $\mathbb{C}$ έχει ως λύσεις τους

αριθμούς $\displaystyle\frac{9+\sqrt{31}i}{2}, \frac{9-\sqrt{31}i}{2}$

Mέχρι να γράψω τη λύση με πρόλαβε ο Μιχάλης...
Το αφήνω για τον κόπο...

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 27, 2022 8:46 pm
Λύστε - στο $\mathbb{R}$ - την εξίσωση :

$\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 6} \right) = 80 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 6} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right) = 80$

$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 9x + 18} \right)\left( {{x^2} - 9x + 20} \right) = 80\,\,\left( 1 \right)$ .

Θέτω : ${x^2} - 9x + 18 = y\,\, \Rightarrow {x^2} - 9x + 20 = y + 2$ και άρα η $\left( 1 \right)$ γίνεται

$y\left( {y + 2} \right) - 80 = 0 \Rightarrow y = - 10\,$ είτε y = 8

. Τώρα έχω :

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} - 9x + 18 = 8 \hfill \\ {x^2} - 9x + 18 = - 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{9 + \sqrt {41} }}{2} \hfill \\ x = \frac{{9 - \sqrt {41} }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Κατά παράγοντες

Κατά παράγοντες

Re: Κατά παράγοντες

Re: Κατά παράγοντες

Re: Κατά παράγοντες

Re: Κατά παράγοντες

Μέλη σε σύνδεση