Βοήθεια σε άσκηση 2

ma128 · #1

Δίνεται: $f:R\rightarrow R$ με τύπο $f(x)=x, \forall x \in Q$ και $f(x)=-x, \forall x \in R-Q$ .
Να αποδείξετε οτι δεν υπάρχουν τα πλευρικά όρια της

σε κάθε $x_0\neq 0$ . Να αποδείξετε επίσης οτι υπάρχει το όριο της

στο

και να υπολογίσετε την τιμή του.

Παραθέτω την απόδειξη ύπαρξης για x_0=0

:

Για να υπάρχει το όριο της

στο

θα πρέπει:

$\forall z>0$ να $\exists d>0$ , τέτοιο ώστε: όταν $x\in (-d,0)$ τότε |f(x)|<z

Είτε $x\in Q$ είτε $x\in R-Q$

Καταλήγουμε ότι πρέπει: x>-z

. Επομένως αν επιλέξω d<z

, πράγματι ισχύει: x>-z

.

Δηλαδή, ικανοποιείται ο ορισμός. Άρα υπάρχει το όριο της

στο

Αντίστοιχα αποδεικνύεται οτι υπάρχει και το όριο στο 0^+

.

Τώρα, στις άλλες περιπτώσεις:

Παραθέτω την απόδειξη μη ύπαρξης για το όριο στο x_0^-

για

Έστω οτι υπάρχει το: $lim_{x\rightaroow x_0^-}f(x)=l, \in R$

Τότε βάσει όρισμου, θα έχω:

|x_1-l|<z

, $x_1\in Q$
|x_2+l|<z

, $x_2\in R-Q$

Αθρόιζοντας τις δύο σχέσεις: έχω : |x_1-l|+|x_2+l|<2z

Όμως: $|x_1-l+x_2+l|=|x_1+x_2|\leq|x_1-l|+|x_2+l|<2z \Rightarrow |x_1+x_2|<2z \Leftrightarrow x_1+x_2>-2z$

Επομένως, $\forall 0<z <-x_0$ προκύπτει: x_1+x_2>2x_0

και έτσι καταλήγουμε σε άτοπο.

Με το ίδιο τρόπο μπορώ να αποδείξω και την μη ύπαρξη του ορίου στο x_0^+

όταν

.

Το πρόβλημα στις άλλες δύο περιπτώσεις είναι το ενδεχόμενο το διάστημα που θα δημιουργηθεί, της μορφής: (x_0,x_0+d

ή

να περιλαμβάνει το

. Τότε δεν μπορώ να καταλήξω σε άτοπο.

Τι πάει λάθος;

ma128 · #2

Και ο υπολογισμός του ορίου στο

.

Ισχύει ότι: $|f(x)\leq|x|, \forall x \in R \Leftrightarrow -|x|\leq f(x)\leq |x| \Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$

ma128 · #3

Να σημειώσω ότι για το όριο στο μηδέν, μπορούμε να το αποδείξουμε απευθείας, χωρίς να μπλέξουμε με πλευρικά.

#4

ma128 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 11, 2022 12:32 am
Δίνεται: $f:R\rightarrow R$ με τύπο $f(x)=x, \forall x \in Q$ και $f(x)=-x, \forall x \in R-Q$ .
Να αποδείξετε οτι δεν υπάρχουν τα πλευρικά όρια της σε κάθε $x_0\neq 0$ . Να αποδείξετε επίσης οτι υπάρχει το όριο της στο και να υπολογίσετε την τιμή του.

Παραθέτω την απόδειξη ύπαρξης για :

Για να υπάρχει το όριο της στο θα πρέπει:

$\forall z>0$ να $\exists d>0$ , τέτοιο ώστε: όταν $x\in (-d,0)$ τότε
Είτε $x\in Q$ είτε $x\in R-Q$

Καταλήγουμε ότι πρέπει: . Επομένως αν επιλέξω , πράγματι ισχύει: .

Δηλαδή, ικανοποιείται ο ορισμός. Άρα υπάρχει το όριο της στο

Αντίστοιχα αποδεικνύεται οτι υπάρχει και το όριο στο .

Σωστά, αλλά κάνεις τα εύκολα δύσκολα. Πιο απλά

$|f(x)-f(0)| = |\pm x -0| = |x| = |x-0|$ . Οπότε για δοθέν $\epsilon >0$ αρκεί να πάρω $\delta = \epsilon$ καθώς από το προηγούμενο για κάθε

με $|x-0| < \delta$ είναι $|f(x)-f(0)| = |x-0| < \delta = \epsilon$ . Τελειώσαμε.

ma128 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 11, 2022 12:32 am
Τώρα, στις άλλες περιπτώσεις:

Παραθέτω την απόδειξη μη ύπαρξης για το όριο στο για

Έστω οτι υπάρχει το: $lim_{x\rightaroow x_0^-}f(x)=l, \in R$

Τότε βάσει όρισμου, θα έχω:

Αθρόιζοντας τις δύο σχέσεις: έχω :

Όμως: $|x-l+x+l|=2|x|\leq|x-l|+|x+l|<2z \Rightarrow |x|<z \Leftrightarrow x>-z$

Επομένως, $\forall z >-x_0$ προκύπτει: και έτσι καταλήγουμε σε άτοπο.

Με το ίδιο τρόπο μπορώ να αποδείξω και την μη ύπαρξη του ορίου στο όταν .

Το πρόβλημα στις άλλες δύο περιπτώσεις είναι το ενδεχόμενο το διάστημα που θα δημιουργηθεί, της μορφής: ή να περιλαμβάνει το . Τότε δεν μπορώ να καταλήξω σε άτοπο.

Τι πάει λάθος;

Το δεύτερο μέρος που γράφεις είναι πάρα πολύ λάθος για πολλούς λόγους. Για παράδειγμα λείπει ο προσδιορισμός του $\delta$ συναρτήσει του $\epsilon$ και λοιπά. Αλλά υπάρχει και άλλο ένα σοβαρό σφάλμα. Στις γραμμές 5 και 6 θεωρείς ότι το ίδιο

ικανοποιεί τις |x-l|<z

και

(δεδομένου ότι πρόσθεσες κατά μέλη). Όμως δεν είναι! Πρώτα απ όλα το ένα είναι ρητός και το άλλο άρρητος.

Αφήνω την σωστή απόδειξη για να έχεις την ευκαιρία να το σκεφθείς ξανά. Από ότι βλέπω όμως πρέπει να ξεκαθαρίσεις αρκετά θέματα με τον εψιλοντικό ορισμό.
,

ma128 · #5

Πράγματι, έχετε δίκιο. Διορθώθηκε.

Για τον προσδιορισμό του

, δεν ξέρω τι ακριβώς εννοείται.

Το σκεπτικό μου είναι το εξής: για να υπάρχει το όριο πρεπει: για κάθε z>0

να υπάρχει κατάλληλο d>0

Και καταλήγω σε άτοπο καθώς δείχνω οτι υπάρχουν καποια z>0

για τα οποία δεν υπάρχει κατάλληλο d>0

ώστε να ικανοποιείται ο ορισμός.

ma128 · #6

Θα μπορούσαμε να το λύσουμε με ακολουθίες;

Δηλαδή, Έστω $x_0\in Q$ , μπορούμε να πούμε ότι, υπάρχει ακολουθία άρρητων r_n

αύξουσα τέτοια ώστε:
$r_n\neq x_0$
$r_n\rightarrow x_0$

Και έστω οτι υπάρχει το όριο της

στο

με $lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=l, \in R$ .
Αντίστοιχα, στο x_0^+

θα παίρναμε φθίνουσα ακολουθία.

Επομένως, θα πρέπει: $f(r_n)\rightarrow l$
Όμως: $f(r_n)=-r_n\rightarrow -l$

Αντίστοιχα για $x_0\in R-Q$

#7

ma128 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 11, 2022 2:30 am
Θα μπορούσαμε να το λύσουμε με ακολουθίες;

Δηλαδή, Έστω $x_0\in Q$ , μπορούμε να πούμε ότι, υπάρχει ακολουθία άρρητων αύξουσα τέτοια ώστε:
$r_n\neq x_0$
$r_n\rightarrow x_0$

Και έστω οτι υπάρχει το όριο της στο με $lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=l, \in R$ .
Αντίστοιχα, στο θα παίρναμε φθίνουσα ακολουθία.

Επομένως, θα πρέπει: $f(r_n)\rightarrow l$
Όμως: $f(r_n)=-r_n\rightarrow -l$

Αντίστοιχα για $x_0\in R-Q$

Αρχίζεις να είσαι στον σωστό δρόμο αλλά πάλι τα σφάλματα πολλά. Για παράδειγμα στην τέταρτη γραμμή παίρνεις $r_n\rightarrow x_0$
αλλά στην προτελευταία χρησιμοποιεί $r_n\rightarrow l$ . Επίσης δεν χρησιμοποίησες καθόλου τους ρητούς στο πλευρικό όριο στο x_0-

. Χωρίς χρήση της συνάρτησης σε όλο της το φάσμα, ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ σωστή λύση. Επίσης χάνεσαι στην περιπτωσιολογία. Για παράδειγμα στην δεύτερη γραμμή δεν χρειάζεται να εξειδικεύσεις ότι το x_0

είναι ρητός. Η ύπαρξη της ακολουθίας r_n

στην απο κάτω της γραμμή, δεν το χρειάζεται αυτό.

Όμως δεν γίνεται δουλειά έτσι, να γράφεις δηλαδή χωρίς βαθειά σκέψη. Δες ξανά σε παρακαλώ τα ποστ 17 και 19 εδώ. Σε συμβουλεύω εκεί να ξεκαθαρίσεις κάποιες έννοιες ΚΑΙ ΔΕΝ ΤΟ ΕΚΑΝΕΣ. Όμως δεν μπορούμε να προχωράμε στα επόμενα, με ασθενείς γνώσεις, χωρίς ΝΑ ΞΕΚΑΘΑΡΙΖΟΥΜΕ ΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ.

Φοβάμαι ότι λιμνάζουμε.

#8

ma128 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 11, 2022 1:27 am

Για τον προσδιορισμό του , δεν ξέρω τι ακριβώς εννοείται.

Συνέχεια του αμέσως προηγουμένου ποστ, σε άλλο ένα σημείο.

Δεν έχεις ξεκαθαρίσει τις έννοιες. Σε όλες τις εψιλοντικές αποδείξεις ύπαρξης ορίου κάπου ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ η φράση "επιλέγω $\delta >0$ ως ..." ή τις παραλλαγές της, Χωρίς αυτό, η απόδειξη είναι ΛΑΘΟΣ πριν ακόμα μπούμε στις λεπτομέρειες της συγκεκριμένης άσκησης.

#9

ma128 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 11, 2022 12:32 am
Δίνεται: $f:R\rightarrow R$ με τύπο $f(x)=x, \forall x \in Q$ και $f(x)=-x, \forall x \in R-Q$ .
Να αποδείξετε οτι δεν υπάρχουν τα πλευρικά όρια της σε κάθε $x_0\neq 0$ . Να αποδείξετε επίσης οτι υπάρχει το όριο της στο και να υπολογίσετε την τιμή του.

Για να κλείνει.

α) Στο

.

Αν $x_n \to 0$ τότε $0\le |f(x_n)| = |\pm x_n| = |x_n| \to 0$ , Άρα το όριο υπάρχει και είναι

,

β) Σε $x_0\ne 0$

Θα δούμε ότι το πλευρικό όριο $x\to x_0-$ δεν υπάρχει. Όμοια τα υπόλοιπα.

Από την πυκνότητα των ρητών υπάρχει αύξουσα ακολουθία (p_n)

ρητών με $p_n\to x_0$ . Αντίστοιχα υπάρχει αύξουσα ακολουθία αρρήτων (q_n)

με $q_n\to x_0$ .

Είναι τότε $f(p_n)=p_n \to x_0$ και f(q_n) = -q_n = -x_0

. Όμως $x_0\ne - x_0$ (διότι $x_0\ne 0$ ), οπότε το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει γιατί θα προσκρούαμε στην μοναδικότητα του ορίου.

Εννοείται μπορούμε να κάνουμε και απόδειξη με εψιλοντικό ορισμό. Είναι εξ ίσου απλή (και βέβαια πάλι με χρήση της πυκνότητας) αλλά το αφήνω.

ma128 · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 11, 2022 8:17 am

ma128 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 11, 2022 1:27 am

Για τον προσδιορισμό του , δεν ξέρω τι ακριβώς εννοείται.

Συνέχεια του αμέσως προηγουμένου ποστ, σε άλλο ένα σημείο.

Δεν έχεις ξεκαθαρίσει τις έννοιες. Σε όλες τις εψιλοντικές αποδείξεις ύπαρξης ορίου κάπου ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ η φράση "επιλέγω $\delta >0$ ως ..." ή τις παραλλαγές της, Χωρίς αυτό, η απόδειξη είναι ΛΑΘΟΣ πριν ακόμα μπούμε στις λεπτομέρειες της συγκεκριμένης άσκησης.

Εγώ προσπαθούσα να κάνω απόδειξη ΜΗ ύπαρξης. Στις αποδείξεις ύπαρξης πρέπει να δειχτεί ότι για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει κάποιο κατάλληλο $\delta>0$ . Στην απόδειξη μη ύπαρξης, προσπαθώ να δείξω ότι για κάποιο $\epsilon>0$ ΔΕΝ υπάρχει κάποιο κατάλληλο $\delta>0$ . Δηλαδή, οποιοδήποτε $\delta>0$ και να επιλέξω, καταλήγω σε άτοπο για κάποιο $\epsilon>0$

ma128 · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 11, 2022 8:09 am
. Για παράδειγμα στην τέταρτη γραμμή παίρνεις $r_n\rightarrow x_0$
αλλά στην προτελευταία χρησιμοποιεί $r_n\rightarrow l$ .

Αυτό ήταν τυπογραφικό.

ma128 · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 9:35 am
Εννοείται μπορούμε να κάνουμε και απόδειξη με εψιλοντικό ορισμό. Είναι εξ ίσου απλή (και βέβαια πάλι με χρήση της πυκνότητας) αλλά το αφήνω.

Θα είναι χαρά μου εάν μου δείξετε πως θα το αποδείξουμε με εψιλοντικό.

ma128 · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 9:35 am

Θα δούμε ότι το πλευρικό όριο $x\to x_0-$ δεν υπάρχει. Όμοια τα υπόλοιπα.

Από την πυκνότητα των ρητών υπάρχει αύξουσα ακολουθία ρητών με $p_n\to x_0$ . Αντίστοιχα υπάρχει αύξουσα ακολουθία αρρήτων με $q_n\to x_0$ .

Είναι τότε $f(p_n)=p_n \to x_0$ και . Όμως $x_0\ne - x_0$ (διότι $x_0\ne 0$ ), οπότε το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει γιατί θα προσκρούαμε στην μοναδικότητα του ορίου.

Εννοείται μπορούμε να κάνουμε και απόδειξη με εψιλοντικό ορισμό. Είναι εξ ίσου απλή (και βέβαια πάλι με χρήση της πυκνότητας) αλλά το αφήνω.

Πέραν του τυπογραφικού λάθους που έκανα.
Δεν χρησιμοποίησα τους ρητούς καθώς σκοπός μου είναι να αποδείξω οτι το όριο ΔΕΝ υπάρχει. Άρα δεν, αρκεί να δείξω απλά ότι υπάρχει κάποια ακολουθία στο R η οποία να μην ικανοποιεί την αρχή της μεταφοράς;

EDIT: Πράγματι έχετε δίκιο, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε 2 ακολουθίες για να δείξουμε οτι έχουν διαφορετικό όρια και έτσι να προσκρούσουμε στη μοναδικότητα του ορίου. Διαφορετικά δεν μα βγαίνει το άτοπο.

stranger · #14

Όπως προσπαθεί να σου πει ο κύριος Λάμπρου καλό είναι να χρησιμοποιούμε γνωστά θεωρήματα και να αφήνουμε πίσω μας τον ορισμού του ορίου γιατί κάνουμε τα εύκολα δύσκολα.
Ένα πολύ καλό θεώρημα είναι η "αρχή του ορίου"(ανάλογο της αρχής της μεταφοράς), όπου μεταφράζεις τον ορισμό του ορίου σε μια πρόταση με ακολουθίες.
Αυτό κάνει τα πράγματα πιο εύκολα.
Βέβαια θα υπάρχουν φορές που χρησιμοποιούμε τον ορισμό του ορίου, αλλά αυτές οι φορές είναι λιγοστές.
Αυτό που διδακτικά είναι σωστό είναι να χρησιμοποιείς τον ορισμό του ορίου όταν τον πρωτομαθαίνεις στο πανεπιστήμιο. Αυτό είναι για να τον κατανοήσεις βαθιά.
Αφού τον κατανοήσεις τότε είναι καλύτερο να χρησιμοποιείς γνωστά θεωρήματα και μάλιστα μπορείς να χρησιμοποιείς έννοιες όπως "για $\delta$ μικρό".
Πρώτα όμως πρέπει να κατανοήσεις τον ορισμό του ορίου, που νομίζω ότι τον έχεις κατανοήσει.

#15

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 3:36 pm

Δεν χρησιμοποίησα τους ρητούς καθώς σκοπός μου είναι να αποδείξω οτι το όριο ΔΕΝ υπάρχει.

Δεν μπορεί να υπάρχει σωστή απόδειξη χωρίς να χρησιμοποιήσει καί τους ρητούς. Αν δεν τους χρησιμοποιήσεις σημαίνει ότι η τιμή της συνάρτησης στους ρητούς είναι αδiάφορη, δηλαδή θα μπορούσε να είναι οτιδήποτε. Σωστά;

Να όμως που αν στους ρητούς η συνάρτηση ήταν f(q)=-q

τότε το ΠΛΕΥΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΥΠΑΡΧΕΙ. Η απόδειξή μου όμως λέει ότι δεν υπάρχει.

Οπότε κάτι δεν λες σωστά.

ma128 · #16

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 3:36 pm

EDIT: Πράγματι έχετε δίκιο, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε 2 ακολουθίες για να δείξουμε οτι έχουν διαφορετικό όρια και έτσι να προσκρούσουμε στη μοναδικότητα του ορίου. Διαφορετικά δεν μα βγαίνει το άτοπο.

ma128 · #17

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 3:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 9:35 am
Εννοείται μπορούμε να κάνουμε και απόδειξη με εψιλοντικό ορισμό. Είναι εξ ίσου απλή (και βέβαια πάλι με χρήση της πυκνότητας) αλλά το αφήνω.
Θα είναι χαρά μου εάν μου δείξετε πως θα το αποδείξουμε με εψιλοντικό.

Επιμένω. Αν δεν σας είναι κόπος θα με βοηθούσε πολύ.

Κυρίως, για τις 2 περιπτώσεις που με δυσκολευουν
Στο $x_0^-, \forall x_0>0$
Και $x_0^+, \forall x_0<0$

#18

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 10:28 pm

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 3:33 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 9:35 am
Εννοείται μπορούμε να κάνουμε και απόδειξη με εψιλοντικό ορισμό. Είναι εξ ίσου απλή (και βέβαια πάλι με χρήση της πυκνότητας) αλλά το αφήνω.
Θα είναι χαρά μου εάν μου δείξετε πως θα το αποδείξουμε με εψιλοντικό.
Επιμένω. Αν δεν σας είναι κόπος θα με βοηθούσε πολύ.

Κυρίως, για τις 2 περιπτώσεις που με δυσκολευουν
Στο $x_0^-, \forall x_0>0$
Και $x_0^+, \forall x_0<0$

Έστω $x_0\ne 0$ . Χωρίς βλάβη x_0>0

. Έστω ότι το πλευρικό όριο $x \to x_0-$ υπάρχει και είναι

. Τότε για το $\epsilon = \frac {1}{2} x_0>0$ υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε για κάθε

με $x_0 - \delta < x < x_0\,\, (*)$ ισχύει $|f(x)-L| < \epsilon = \frac {1}{2} x_0$ . Χωρίς βλάβη $0< \delta < \frac {1}{2} x_0$ . Ένα οποιοδήποτε

που ικανοποιεί την (*)

, θα ικανοποιεί ακόμα και την

$x > x_0- \delta > x_0 - \frac {1}{2} x_0 = \frac {1}{2} x_0 >0$ .

Επιλέγουμε τώρα έναν ρητό x_1

και έναν άρρητο x_2

που ικανοποιούν την (*)

. Είναι τότε

$\displaystyle{x_0 = \frac {1}{2} x_0+ \frac {1}{2} x_0 <x_1+x_2 = f(x_1)-f(x_2) = (f(x_1)-L) +(L-f(x_2))\le }$

$\displaystyle{ \le |f(x_1)-L |+|L-f(x_2)| < \frac {1}{2} x_0+ \frac {1}{2} x_0 =x_0}$ , άτοπο.

ma128 · #19

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 11:21 pm
Χωρίς βλάβη $0< \delta < \frac {1}{2} x_0$

Μπορούμε να περιορίσουμε έτσι το $\delta$ χωρίς βλάβη;
Γιατί εμένα ακριβώς αυτό προκαλούσε αδιέξοδο στη σκέψη μου. Το ενδεχόμενο το διάστημα που θα δημιουργηθεί να περιλαμβάνει το

, δηλαδή το ενδεχόμενο να ειναι $\delta>x_0$

#20

ma128 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 11:42 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 11:21 pm
Χωρίς βλάβη $0< \delta < \frac {1}{2} x_0$

Μπορούμε να περιορίσουμε έτσι το $\delta$ χωρίς βλάβη;
Γιατί εμένα ακριβώς αυτό προκαλούσε αδιέξοδο στη σκέψη μου. Το ενδεχόμενο το διάστημα που θα δημιουργηθεί να περιλαμβάνει το , δηλαδή το ενδεχόμενο να ειναι $\delta>x_0$

Έλεος!

Αυτή είναι η ΠΕΜΠΤΟΥΣΙΑ του εψιλοντικού ορισμού. Κοντολογίς, αν κάποιο $\delta >0$ μας κάνει, τότε μας κάνουν και ΟΛΑ ΤΑ ΜΙΚΡΟΤΕΡΑ θετικά.

Εάν δεν το έχεις κατανοήσει, που εκ των πραγμάτων δεν το κατανόησες, πρέπει ΠΟΛΥ ΣΟΒΑΡΑ να ξεκαθαρίσεις τις έννοιες. Σίγουρα τα βιβλία σου και οι Καθηγητές έχουν τονίσει εμφατικά την πεμπτουσία που αναφέρομαι. Και επίσης έχεις δει και κάμποσες αποδείξεις που το χρησιμοποιούν. Για παράδειγμα στην απόδειξη του θεωρήματος ότι το άθροισμα συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής, σε κάποιο βήμα λες "παίρνω $\delta = \min (\delta _1,\, \delta _2)$ "

Έχεις καταλάβει γιατί το κάνει;

Το ότι δεν αντιλήφθηκες το νόημα αυτής της επιλογής του $\delta$ συνεπάγεται ότι έχασες την ουσία της απόδειξης. Και σίγουρα ο Καθηγητής σου και το βιβλίο σου στάθηκαν σε αυτό το σημείο.

Η συμβουλή μου είναι να κάνεις μία προς τα πίσω σοβαρή επανάληψη. Θα σου είναι χρήσιμη, ή μάλλον απαραίτητη. Χωρίς κατανόηση του σημείου που αναφέρομαι, θα μείνεις μόνο στα ρηχά νερά του Απειροστικού.

Βοήθεια σε άσκηση 2

Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Re: Βοήθεια σε άσκηση 2

Μέλη σε σύνδεση