![x_n=\frac{\sqrt[n]{3^{n}+4^{n}+...+(n+5)^{n}}}{n}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/df5733b42c0f4d1b01136dff9fff1f9d.png "x_n=\frac{\sqrt[n]{3^{n}+4^{n}+...+(n+5)^{n}}}{n}")
Να αποδείξετε οτι συγκλίνει και να βρείτε το όριο της.
Συγκλίνουσα Ακολουθία
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Συγκλίνουσα Ακολουθία
Δίνεται η ακολουθία
Να αποδείξετε οτι συγκλίνει και να βρείτε το όριο της.
Να αποδείξετε οτι συγκλίνει και να βρείτε το όριο της.
Λέξεις Κλειδιά:
-
Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 9010
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Δεν είμαι σίγουρος αν ξέρεις να τη λύσεις και θέλεις να τη μοιραστείς μαζί μας ή αν ζητάς βοήθεια για τη λύση. Δίνω λοιπόν μόνο μια υπόδειξη:
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Όχι δεν την έχω λύσει. Για να δείξω ότι συγκλίνει αρκεί να δείξω ότι είναι μονότονη και φραγμενη.
τελευταία επεξεργασία από ma128 σε Πέμ Φεβ 03, 2022 11:03 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Λάθος.
τελευταία επεξεργασία από ma128 σε Πέμ Φεβ 03, 2022 11:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
![x_n< \frac{\sqrt[n]{(n-2)n^n+5(n+5)^n}}{n}=\sqrt[n]{(n-2)+5(1+\frac{5}{n})}< \sqrt[n]{n-2+5*6^n}< \sqrt[n]{6*6^n}=6\sqrt[n]{6}<12](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cfa4d4b35cb62c660cdb91c53b30cc85.png "x_n< \frac{\sqrt[n]{(n-2)n^n+5(n+5)^n}}{n}=\sqrt[n]{(n-2)+5(1+\frac{5}{n})}< \sqrt[n]{n-2+5*6^n}< \sqrt[n]{6*6^n}=6\sqrt[n]{6}<12")
Επομένως η ακολουθία είναι άνω φραγμένη και εάν είναι σωστό αυτό μας μένει να αποδείξουμε οτι είναι αύξουσα.
-
Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 9010
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Δεν είναι τόσο εύκολο να εξεταστεί αν η συγκεκριμένη ακολουθία είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Αλλά ακόμη και αν το δείξουμε δεν βοηθάει τόσο για να βρούμε το όριο της ακολουθίας.
Δες ξανά την υπόδειξη που έδωσα στην προηγούμενή μου ανάρτηση..
Δες ξανά την υπόδειξη που έδωσα στην προηγούμενή μου ανάρτηση..
-
Mihalis_Lambrou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 18221
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Πρέπει να ξεκαθαρίσεις ΠΟΛΥ βασικά θέματα στο μυαλό σου. Για έναν Μαθηματικό οι λέξεις "πρέπει" και "αρκεί"
είναι ΚΕΦΑΛΑΙΩΔΟΥΣ σημασίας, και θα σου συνιστούσα να το κοιτάξεις προσεκτικά αυτό το θέμα. Δεν επιτρέπονται τέτοια σφάλματα.
Ας επισημάνω πάντως ότι για την συγκεκριμένη άσκηση η μέθοδος που επιλέγεις (είτε με "πρέπει" είτε με "αρκεί") δεν οδηγεί
σε λύση. Στο είπε άλλωστε ο Δημήτρης.
Ο λόγος που γράφω είναι άλλος. Ας υποθέσουμε ότι είχες δείξει μονοτονία και τώρα μένει
Εεεεεε όχι!
Μη μου πεις ότι δεν μπορείς να βρεις ένα κάτω φράγμα μιας ακολουθίας θετικών όρων. Για διευκόλυνσή σου, σου δίνω μία ιδέα, με απόκρυψη. Να δούμε αν θα πιάσεις το μήνυμα, γι' αυτό το θέτω με χιούμορ. Θα χαρώ πάντως να μας πεις τι προσπαθώ να σου ξεκαθαρίσω.
.
(μειον 
}. Έχεις καμιά ιδέα ποιο θα είναι τουχρόνου το κάτω φράγμα; Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Σωστά, η ορθή διατύπωση είναι "Για να δείξω οτι η ακολουθία συγκλίνει , αρκεί να δείξω οτι είναι μονότονη και φραγμένη".Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 03, 2022 9:59 pmΠρέπει να ξεκαθαρίσεις ΠΟΛΥ βασικά θέματα στο μυαλό σου. Για έναν Μαθηματικό οι λέξεις "πρέπει" και "αρκεί"
είναι ΚΕΦΑΛΑΙΩΔΟΥΣ σημασίας, και θα σου συνιστούσα να το κοιτάξεις προσεκτικά αυτό το θέμα. Δεν επιτρέπονται τέτοια σφάλματα.
Σίγουρα, ένα κάτω φράγμα είναι το
ή και κάθε αρνητικός αριθμός, στην προκειμένη περίπτωση.Όπως σας είπα, έχω υπολογίσει το όριο της ακολουθίας και το έχω βγάλει ίσο με
.Αυτό δεν με δυσκόλεψε, αυτό που προσπαθώ είναι να αποδείξω οτι συγκλίνει, ανεξάρτητα απο το γεγονός οτι έχω βρεί το όριο, καθώς η άσκηση είναι διατυπωμένη όπως σαν την παρέδωσα - Δηλαδή πρώτα ζητάει να αποδειχτεί οτι συγκλίνει η ακολουθία και ύστερα να υπολογιστεί το όριο-.
Οτι προσπάθεια έχω κάνει μέχρι στιγμής προς τούτο, ξεκινάει με αυτό το σκεπτικό "Για να δείξω οτι η ακολουθία συγκλίνει , αρκεί να δείξω οτι είναι μονότονη και φραγμένη".. Για να λέτε λοιπόν, ότι είναι δύσκολο να εξαχθεί η μονοτονία , αυτό σημαίνει οτι πρέπει να το σκεφτώ διαφορετικά.
τελευταία επεξεργασία από ma128 σε Πέμ Φεβ 03, 2022 11:02 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Αν εννοείται να υπολογίσω το όριο της ακολουθία με κριτήριο παρεμβολής, πράγματι υπολογίζεται και βγαίνει ίσο με
αλλά αυτό το είχα υπολογίσει διαφορετικά έτσι και αλλιώς. Το ζήτημα είναι να αποδείξω οτι συγκλίνει, ανεξάρτητα του γεγονότος οτι έχω υπολογίσει το όριο, όπως εξηγώ παραπάνω.Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Ναι, πράγματι αυτό ήταν πατάταMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 03, 2022 9:59 pmΟ λόγος που γράφω είναι άλλος. Ας υποθέσουμε ότι είχες δείξει μονοτονία και τώρα μένει
Εεεεεε όχι!
Μη μου πεις ότι δεν μπορείς να βρεις ένα κάτω φράγμα μιας ακολουθίας θετικών όρων. Για διευκόλυνσή σου, σου δίνω μία ιδέα, με απόκρυψη. Να δούμε αν θα πιάσεις το μήνυμα, γι' αυτό το θέτω με χιούμορ. Θα χαρώ πάντως να μας πεις τι προσπαθώ να σου ξεκαθαρίσω.
Το αποσύρω
-
Mihalis_Lambrou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 18221
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Πάλι πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό. Από την εκφώνηση ΔΕΝ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ότι σου ζητάει να δείξεις πρώτα ότι συγκλίνει και μετά να βρεις το όριο. Φαντάζομαι δεν χρειάζεται να σου εξηγήσω την έννοια του "και" στην εκφώνηση.
Με λίγα λόγια πάντως, το "και" δηλώνει τι έχεις να αποδείξεις, όχι την σειρά τους. Και επειδή σου ζητάει δύο πράγματα, ο μόνος τρόπος να σου το ζητήσει είναι με "και". Αν ήθελε συγκεκριμένη σειρά να αποδείξεις κάτι, θα τα απαριθμούσε α), β), ...
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Επομένως, απλώς υπολογίζω το όριο και προφανώς επειδή το όριο είναιMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 03, 2022 11:38 pmΠάλι πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό. Από την εκφώνηση ΔΕΝ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ότι σου ζητάει να δείξεις πρώτα ότι συγκλίνει και μετά να βρεις το όριο. Φαντάζομαι δεν χρειάζεται να σου εξηγήσω την έννοια του "και" στην εκφώνηση.
Με λίγα λόγια πάντως, το "και" δηλώνει τι έχεις να αποδείξεις, όχι την σειρά τους. Και επειδή σου ζητάει δύο πράγματα, ο μόνος τρόπος να σου το ζητήσει είναι με "και". Αν ήθελε συγκεκριμένη σειρά να αποδείξεις κάτι, θα τα απαριθμούσε α), β), ...
, η ακολουθία συγκλίνει.Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Τελικά, ας παραθέσω τον υπολογισμό του ορίου, αφού αυτό αρκεί ως λύση.
Άρα βολεύει να υπολογίσω το
![lim(lnx_n)=lim[\frac{ln(3^n+4^n+...(n+5)^n}{n}-ln(n)]=lim[\frac{[(n+5)^n](\frac{3^n}{(n+5)^n}+\frac{4^n}{(n+5)^n}+...+1)}{n}-ln(n)]=lim[ln(\frac{n+5}{n})]=lim[ln(1+\frac{5}{n})]=0](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/25d37c696bf8cde5eb25173983094f7d.png "lim(lnx_n)=lim[\frac{ln(3^n+4^n+...(n+5)^n}{n}-ln(n)]=lim[\frac{[(n+5)^n](\frac{3^n}{(n+5)^n}+\frac{4^n}{(n+5)^n}+...+1)}{n}-ln(n)]=lim[ln(\frac{n+5}{n})]=lim[ln(1+\frac{5}{n})]=0")
Επομένως:
Επομένως η ακολουθία συγκλίνει
Άρα βολεύει να υπολογίσω το
Επομένως:
Επομένως η ακολουθία συγκλίνει
τελευταία επεξεργασία από ma128 σε Παρ Φεβ 04, 2022 1:28 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
Mihalis_Lambrou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 18221
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Όχι! Το ανάποδο.
Το όριο το μελετάς με ισοσυγκλίνουσες. Δηλαδή είναι
όπου (δείχνεις) οι 
συγκλίνουν, και μάλιστα στο ίδιο όριο (εδώ ). Άρα έπεται ότι η 
συγκλίνει και μάλιστα στο κοινό όριο των προηγουμένων.Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Φεβ 04, 2022 12:09 amΌχι! Το ανάποδο.
Το όριο το μελετάς με ισοσυγκλίνουσες. Δηλαδή είναι
Δηλαδή, έτσι :
![lim(\frac{n+5}{n})\leqslant lim(x_n)\leqslant lim(\frac{n+5}{n})\sqrt[n]{n+3}<=>1\leqslant lim(x_n)\leqslant 1](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e20c1793b0ccaea60dd7450024b18dfb.png "lim(\frac{n+5}{n})\leqslant lim(x_n)\leqslant lim(\frac{n+5}{n})\sqrt[n]{n+3}<=>1\leqslant lim(x_n)\leqslant 1")
Όπου
![lim(\sqrt[n]{n+3})=lim(e^{ln(\sqrt[n]{n+3})})=1](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8dc3ea0be8a2df29cc7bfe698eb71377.png "lim(\sqrt[n]{n+3})=lim(e^{ln(\sqrt[n]{n+3})})=1")
καθώς:
![lim(ln(\sqrt[n]{n+3})=lim(\frac{ln(n+3)}{n})=lim\frac{1}{n+3}=0](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/03aa8e6160232f6d7147f5f869bbb55a.png "lim(ln(\sqrt[n]{n+3})=lim(\frac{ln(n+3)}{n})=lim\frac{1}{n+3}=0")
-
Mihalis_Lambrou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 18221
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συγκλίνουσα Ακολουθία
Πάλι κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Η υπόδειξη του Δημήτρη είναι σαφής. Σύμφωνα με αυτήν παίρνοντας νιοστή ρίζα έχουμε
![\displaystyle{ \dfrac {5+n}{n} \le \frac{\sqrt[n]{3^{n}+4^{n}+...+(n+5)^{n}}}{n} \le \sqrt [n]{n+3}\cdot \dfrac {5+n}{n}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3469c39a5d51bf72087dfef18ba9ca1f.png "\displaystyle{ \dfrac {5+n}{n} \le \frac{\sqrt[n]{3^{n}+4^{n}+...+(n+5)^{n}}}{n} \le \sqrt [n]{n+3}\cdot \dfrac {5+n}{n}}")
Πάρε τώρα όρια.
Πάρε τώρα όρια.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες