Παράλληλες χορδές

#1

: Παράλληλες χορδές.png (7.09 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Είναι δοσμένα σε κύκλο δυο σημεία $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ ..Να χαράξετε τις παράλληλες χορδές του $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$ , έτσι ώστε : AT + BS = k

( δεδομένο και σταθερό ).

Altrian · #2

Καλησπέρα,

Δημιουργούμε τον ομόκεντρο κύκλο του αρχικού που εφάπτεται στην χορδή

στο μέσο της, έστω

. Γράφουμε τον κύκλο $(M,\dfrac{k}{2})$ που τέμνει τον εσωτερικο κύκλο έστω στο

. Οι παράλληλες AT,BS

προς την

είναι οι ζητούμενες γιατί AT+BS=2MD=k

#3

Altrian έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 15, 2021 9:08 pm
Καλησπέρα,

Δημιουργούμε τον ομόκεντρο κύκλο του αρχικού που εφάπτεται στην χορδή στο μέσο της, έστω . Γράφουμε τον κύκλο $(M,\dfrac{k}{2})$ που τέμνει τον εσωτερικο κύκλο έστω στο . Οι παράλληλες προς την είναι οι ζητούμενες γιατί

Από τις τρεις παρόμοιες λύσεις που γνωρίζω αυτή είναι η πιο κομψή .

STOPJOHN · #4

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 15, 2021 3:29 pm
Παράλληλες χορδές.png
Είναι δοσμένα σε κύκλο δυο σημεία $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ ..Να χαράξετε τις παράλληλες χορδές του $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$ , έτσι ώστε : ( δεδομένο και σταθερό ).

Ανάλυση

Εστω $AK\perp SB,TL\perp SB,AT//BS\Rightarrow KB=LS$

Ακόμη $k=AT+BS=KL+2BK+KL=2(BK+KL)=2BL\Leftrightarrow BL=\dfrac{k}{2},$

$\hat{AOB}=2\hat{ASB}=2\hat{TBS}=ct=\hat{ATB}$

Συνεπώς το τρίγωνο BTL

κατασκευάζεται .

Για την Απόδειξη εχουμε στον κύκλο

(O)

την

$AB=l=ct,\hat{AOB}=2\phi , \hat{ATB}=\dfrac{1}{2}\hat{AOB}=\phi =\hat{TBL}\Rightarrow AT//BS$

#5

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 15, 2021 3:29 pm
Παράλληλες χορδές.png
Είναι δοσμένα σε κύκλο δυο σημεία $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ ..Να χαράξετε τις παράλληλες χορδές του $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$ , έτσι ώστε : ( δεδομένο και σταθερό ).

Στο ίδιο σκεπτικό με τον Αλέξανδρο (επί της ουσίας ίδια).

: Παράλληλες χορδές.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Αν

το μέσο του AB,

τότε επί του ημικυκλίου διαμέτρου

θεωρώ σημείο

ώστε $MN=\dfrac{k}{4}$ και στη συνέχεια φέρνω τις χορδές AT, BS

παράλληλες στη MN.

#6

Παραλλαγή.

: Παράλληλες χορδές.β.png (13.13 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Με κέντρο το μέσο

της

και ακτίνα $\dfrac{k}{4}$ γράφω κύκλο και φέρνω από το

την εφαπτομένη του κύκλου. Στη συνέχεια φέρνω τις χορδές AT, BS

που είναι κάθετες σ' αυτή την εφαπτομένη. Το πρόβλημα έχει γενικά δύο λύσεις.

#7

Και μία υπολογιστική. Έστω

η ακτίνα του κύκλου, AB=d

σταθερό,

το ύψος του ισοσκελούς τραπεζίου ABST

και

Είναι, $\displaystyle BD = \frac{{a - b}}{2} \Rightarrow DS = \frac{{a + b}}{2} = \frac{k}{2}$ και $\boxed{A{S^2} = {h^2} + \frac{{{k^2}}}{4}}$ (1)

: Παράλληλες χορδές.γ.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Αλλά, $\displaystyle d \cdot AS = 2Rh$ και από την (1)

με απαλοιφή του AS,

είναι $\boxed{h = \frac{{dk}}{{2\sqrt {4{R^2} - {d^2}} }}}$ (*). Οδηγούμαστε

έτσι στην παρακάτω κατασκευή: Από το

φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου (A, h)

που τέμνει τον (O, R)

στο

και

στη συνέχεια η χορδή AT||BS

ολοκληρώνει την κατασκευή.

(*) Αν

είναι το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον (O, R)

τότε $\displaystyle BE = \sqrt {4{R^2} - {d^2}}$ και

$\displaystyle \frac{{2BE}}{d} = \frac{k}{h},$ οπότε το

κατασκευάζεται ως τετάρτη ανάλογος γνωστών τμημάτων.

Παράλληλες χορδές

Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Μέλη σε σύνδεση