Ορθογώνιες ανησυχίες 2

KARKAR · #1

: Ορθογώνιες ανησυχίες.png (11.52 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Στο - $a \times b$ - ορθογώνιο ABCD

, ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα D , A

και το μέσο

της

,

τέμνει την διαγώνιο

στο

. Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε : AS=2SC

και υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 8:09 pm
Ορθογώνιες ανησυχίες.pngΣτο - $a \times b$ - ορθογώνιο , ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα και το μέσο της ,

τέμνει την διαγώνιο στο . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε : και υπολογίστε το τμήμα .

$\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ και $SM=\dfrac{a}{2}$ . Δεν χρειάζεται απάντηση από εμένα. Εχω ήδη απαντήσει πριν λίγο

Θα γράψω αναλυτικά τη λυση αν δεν απαντηθεί ( πράγμα ΑΔΥΝΑΤΟΝ )

thepigod762 · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 8:09 pm
Ορθογώνιες ανησυχίες.pngΣτο - $a \times b$ - ορθογώνιο , ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα και το μέσο της ,

τέμνει την διαγώνιο στο . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε : και υπολογίστε το τμήμα .

Για το δεύτερο ερώτημα είδα την απάντηση του KARKAR αλλά δεν καταλαβαίνω γιατί βγήκε λάθος...
Έστω

κορυφή στο ορθογώνιο DAMG

Τότε, προφανώς,

είναι σημείο του κύκλου, καθώς $\ANGLE DGM = 90^{0}$ ,

διάμετρος του κύκλου.
Τότε, $DG=GC=\dfrac{a}{2}$ και από δύναμη του

ως προς τον κύκλο, παίρνουμε:
$\frac{a}{2}\cdot a=CS\cdot 3CS\Leftrightarrow CS^{2}=\dfrac{a^{2}}{6}$

Από Π.θ. στο ABC

, έχουμε:
$b^{2}+a^{2}=(3CS)^{2}\Rightarrow b^{2}+a^{2}=\frac{9a^{2}}{6}\Leftrightarrow\boxed{\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Στο τρίγωνο ABC

παίρνουμε:

$cos\angle A=\frac{a}{3CS}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

*(ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Από εδώ μέχρι τέλος λάθος)
Από νόμο συνημιτόνων στο SAM

, έχουμε:

$SM^{2}=(2CS)^{2}+(\frac{a}{2})^{2}+2\cdot 2CS\cdot \frac{a}{2}cos\angle A=$
$=\frac{2a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{4}+2\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{19a^{2}}{12} \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow SM=\frac{a\sqrt{19}}{\sqrt{12}}=...$

*ΔΙΟΡΘΩΣΗ
Βιάστηκα και στον τύπο των συνημιτόνων πρόσθεσα τον όρο $2\cdot 2CS\cdot \frac{a}{2}cos\angle A$
Αντί του του λάθος κειμένου έχουμε:
$SM^{2}=(2CS)^{2}+(\frac{a}{2})^{2}-2\cdot 2CS\cdot \frac{a}{2}cos\angle A=$
$=\frac{2a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{4}-2\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{19a^{2}}{12} \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \boxed{SM=\dfrac{a}{2}}$

#4

thepigod762 έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 9:46 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 8:09 pm
Ορθογώνιες ανησυχίες.pngΣτο - $a \times b$ - ορθογώνιο , ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα και το μέσο της ,

τέμνει την διαγώνιο στο . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε : και υπολογίστε το τμήμα .
Για το δεύτερο ερώτημα είδα την απάντηση του KARKAR αλλά δεν καταλαβαίνω γιατί βγήκε λάθος...
Έστω κορυφή στο ορθογώνιο
Τότε, προφανώς, είναι σημείο του κύκλου, καθώς $\ANGLE DGM = 90^{0}$ , διάμετρος του κύκλου.
Τότε, $DG=GC=\dfrac{a}{2}$ και από δύναμη του ως προς τον κύκλο, παίρνουμε:
$\frac{a}{2}\cdot a=CS\cdot 3CS\Leftrightarrow CS^{2}=\dfrac{a^{2}}{6}$

Από Π.θ. στο , έχουμε:
$b^{2}+a^{2}=(3CS)^{2}\Rightarrow b^{2}+a^{2}=\frac{9a^{2}}{6}\Leftrightarrow\boxed{\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Στο τρίγωνο παίρνουμε:

$cos\angle A=\frac{a}{3CS}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Από νόμο συνημιτόνων στο , έχουμε:

$SM^{2}=(2CS)^{2}+(\frac{a}{2})^{2}+2\cdot 2CS\cdot \frac{a}{2}cos\angle A=$
$=\frac{2a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{4}+2\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{19a^{2}}{12} \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow SM=\frac{a\sqrt{19}}{\sqrt{12}}=...$

Μήπως κατι δεν πάει καλα στον τύπο του νόμου συνημιτονων ;

#5

: Ορθογώνιες ανησυχίες 2_new.png (17.3 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

Έστω

το μέσο της

και

το συμμετρικό του

ως προς το

. Προφανώς τα τετράπλευρα, $MBND\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BTCN$ είναι παραλληλόγραμμα .

Αφού $AM = MB = BT\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DM//NB//CT$ θα είναι AG = GS = SC

. Όμως επί πλέον ο κύκλος $\left( {A,M,N,D} \right)$ θα διέρχεται από το

, οπότε : $\boxed{\widehat {{S_{}}} = 90^\circ }$ .

$\boxed{\frac{{B{C^2}}}{{B{A^2}}} = \frac{{CS}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$ ,ενώ στο ορθογώνιο τρίγωνο SAB

η διάμεσος $\boxed{SM = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}}$ .

Για το συμπαθέστατο μαθητή από τη Λάρισα .

Η πρώτη σχέση στο πλαίσιο μπορεί να προκύψει από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBT$

Γιώργο Κοτσάλη , μπορείς να κατασκευάσεις το ακριβές σχήμα της άσκησης; . Όχι κατ ανάγκη με λογισμικό .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Ορθογώνιες ανησυχίες.pngΣτο - $a \times b$ - ορθογώνιο ABCD

, ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα D , A

και το μέσο

της

,

τέμνει την διαγώνιο

στο

. Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε : AS=2SC

και υπολογίστε το τμήμα

.
[/quote]

H

τέμνει την

στο

Επειδή $\dfrac{NC}{AB}= \dfrac{CS}{SA}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow NC= \dfrac{a}{2}$ κι αφού DNMA

ορθογώνιο,ο κύκλος (A,D,M)

περνά από το

Το

είναι παραλ/μμο ,άρα DNSM

ισοσκελές τραπέζιο,συνεπώς $SM=DN= \dfrac{a}{2}$ άρα $BS \bot AS$

Έτσι, $\dfrac{a^2}{b^2}= \dfrac{AS}{SC}=2 \Rightarrow \dfrac{a}{b}= \sqrt{2}$

Όσο πληκτρολογούσα ανέβασε ο Νίκος τη λύση του που μόλις είδα
Έχουμε περίπου την ίδια λύση.

: ορθογώνιες ανησυχίες 2.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 8:09 pm
Ορθογώνιες ανησυχίες.pngΣτο - $a \times b$ - ορθογώνιο , ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα και το μέσο της ,

τέμνει την διαγώνιο στο . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε : και υπολογίστε το τμήμα .

$AC=AS+SG=3SC,AS=\dfrac{2}{3}\sqrt{a^{2}+b^{2}},SC=\dfrac{1}{3}\sqrt{a^{2}+b^{2}},$

Το ADLM

είναι ορθογώνιο και $\hat{LSA}=90^{0}$

Από τα όμοια τρίγωνα

$LSC,ADC,\dfrac{LC}{AC}=\dfrac{SC}{a}\Rightarrow 2b^{2}=a^{2}\Leftrightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Ομοίως από τα όμοια τρίγωνα

$SGC,ASM,\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{MS}{SG}=\dfrac{AM}{GC}\Rightarrow GC=\dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{2}LC, LG=\dfrac{a}{4},\hat{LSC}=90^{0}, SG=\dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{2}MS\Rightarrow MS=\dfrac{a}{2}$

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 08, 2021 8:09 pm
Ορθογώνιες ανησυχίες.pngΣτο - $a \times b$ - ορθογώνιο , ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα και το μέσο της ,

τέμνει την διαγώνιο στο . Βρείτε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε : και υπολογίστε το τμήμα .

α) $\displaystyle CN \cdot CD = CS \cdot CA \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{C{A^2}}}{3} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{a}{b} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

: Ορθ.Ανησ..png (15.76 KiB) Προβλήθηκε 881 φορές

β) Αν

είναι το μέσο του AS,

τότε προφανώς τα τρίγωνα PAM, SCN

είναι ίσα, άρα $\displaystyle MP \bot AS \Leftrightarrow$ $\boxed{SM=AM=\frac{a}{2}}$

Ορθογώνιες ανησυχίες 2

Ορθογώνιες ανησυχίες 2

Re: Ορθογώνιες ανησυχίες 2

Re: Ορθογώνιες ανησυχίες 2

Re: Ορθογώνιες ανησυχίες 2

Re: Ορθογώνιες ανησυχίες 2

Re: Ορθογώνιες ανησυχίες 2

Re: Ορθογώνιες ανησυχίες 2

Re: Ορθογώνιες ανησυχίες 2

Μέλη σε σύνδεση