Ακολουθία ακεραίων

Al.Koutsouridis · #1

Σε μια ακολουθία

ακέραιων αριθμών κάθε αριθμός (εκτός του πρώτου και τελευταίου) είναι μεγαλύτερος από τον μέσο όρο των δυο γειτονικών του όρων. Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος είναι ίση με

. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του δεύτερου όρου σε μία τέτοια ακολουθία.

Κατάλληλο και για μικρότερες τάξεις. Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση, Ρωσία 2021.

#2

Ας γράψουμε $a_1,a_2,\ldots,a_{80}$ για τους όρους της ακολουθίας.

Για κάθε $k=2,3,\ldots,79$ έχουμε $2a_k > a_{k-1} + a_{k+1}$ άρα και $2a_k \geqslant a_{k-1} + a_{k+1} + 1$ . Επομένως

$\displaystyle \sum_{k=2}^{79} 2(80-k)a_k \geqslant \sum_{k=2}^{79} (80-k)(a_{k-1}+a_{k+1}+1)$

Στο δεξί μέλος, ο συντελεστής του a_2

είναι

, του $a_{79}$ είναι

ενώ του

για $3 \leqslant k \leqslant 78$ είναι (80-(k-1)) + (80-(k+1)) = 160-2k

. Επομένως, αφού $a_1=a_{80}=0$ έχουμε

$\displaystyle (156-77)a_2 \geqslant \sum_{k=2}^{79} (80-k) = 1+2+\cdots + 78 = \frac{78\cdot 79}{2}$

Καταλήγουμε στο $a_2 \geqslant 39$ .

Η ισότητα επιτυγχάνεται για $\displaystyle a_k = \frac{(k-1)(80-k)}{2}$ αφού τότε όντως έχουμε $a_1 = a_{80}=0, a_2 = 39$ και

$\displaystyle \begin{aligned} a_{k-1} + a_{k+1} + 1 &= \frac{(k-2)(81-k) + k(79-k) + 2}{2} \\ &= \frac{(k-1)(81-k) - (81-k) + (k-1)(79-k) + (79-k) + 2}{2}\\ &= \frac{(k-1)(160-2k)}{2} = 2a_k \leqslant 2a_k \end{aligned}$

Ακολουθία ακεραίων

Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση