ΙΜΟ 2021

[Al.Koutsouridis]

Θέματα της 62ης Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας

2021_hel.pdf

(146 KiB) Μεταφορτώθηκε 107 φορές

Μέρα 1η

Πρόβλημα 1. ’Εστω ένας ακέραιος. Ο Ιβάν γράφει τους αριθμούς καθέναν σε διαφορετική κάρτα. Μετά ανακατεύει αυτές τις κάρτες και τις χωρίζει σε δύο στοίβες. Να αποδείξετε ότι μία τουλάχιστον από τις στοίβες περιέχει δύο κάρτες τέτοιες ώστε το άθροισμα των αριθμών τους να είναι τέλειο τετράγωνο.

Πρόβλημα 2. Να αποδείξετε ότι η ανισότητα



ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς .


Πρόβλημα 3. Έστω ένα εσωτερικό σημείο του οξυγώνιου τριγώνου με έτσι ώστε. Το σημείο του τμήματος ικανοποιεί την ισότητα , το σημείο του τμήματος ικανοποιεί την ισότητα και το σημείο της ευθείας ικανοποιεί την ισότητα . Έστω και τα περίκεντρα των τριγώνων και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και περνούν από το ίδιο σημείο.


Μέρα 2η

Πρόβλημα 4. Έστω ένας κύκλος με κέντρο και ένα κυρτό τετράπλευρο τέτοιο ώστε καθένα από τα τμήματα και εφάπτεται του κύκλου . Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος τουτριγώνου . Η προέκταση του τμήματος προς το μέρος του τέμνει τον κύκλο στο σημείο και η προέκταση του τμήματος προς το μέρος του τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Οι προεκτάσεις των τμημάτων και προς το μέρος του τέμνουν τον κύκλο στα σημεία και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι

.

Πρόβλημα 5. Δύο σκίουροι, ο Μπάσυ και ο Τζάμπυ, έχουν συλλέξει καρύδια για τον χειμώνα. Ο Τζάμπυ αριθμεί τα καρύδια από το μέχρι το και σκάβει μικρές τρύπες κυκλικά στο έδαφος γύρω από το αγαπημένο τους δέντρο. Το επόμενο πρωινό ο Τζάμπυ παρατηρεί ότι ο Μπάσυ είχε τοποθετήσει ένα καρύδι μέσα σε κάθε τρύπα, αλλά δεν είχε προσέξει την αρίθμηση. Δυσαρεστημένος ο Τζάμπυ, αποφασίζει να αναδιατάξει τα καρύδια κάνοντας μια ακολουθία κινήσεων. Στην στη κίνηση, ο Τζάμπυ ανταλλάσσει τις θέσεις των δύο καρυδιών που είναι γειτονικά στο καρύδι με αριθμό . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μία τιμή του τέτοια ώστε, στην στη κίνηση, ο Τζάμπυ ανταλλάσσει κάποια καρύδια και τέτοια ώστε .

Πρόβλημα 6. Έστω ένας ακέραιος, ένα πεπερασμένο σύνολο ακεραίων (όχι κατ’ ανάγκη θετικών) και υποσύνολα του . Υποθέτουμε ότι για κάθε το άθροισμα των στοιχείων του είναι . Να αποδείξετε ότι το σύνολο περιέχει τουλάχιστον στοιχεία.


Καλά αποτελέσματα στις ελληνικές ομάδες.

[2nisic]

Μέρα 1η

Πρόβλημα 1. ’Εστω ένας ακέραιος. Ο Ιβάν γράφει τους αριθμούς καθέναν σεδιαφορετική κάρτα. Μετά ανακατεύει αυτές τις κάρτες και τις χωρίζει σε δύο στοίβες. Να αποδείξετε ότι μία τουλάχιστον από τις στοίβες περιέχει δύο κάρτες τέτοιες ώστε το άθροισμα των αριθμών τους να είναι τέλειο τετράγωνο.

Θα δείξουμε ότι υπάρχουν ώστε το άθροισμα οποιονδήποτε δύο από αυτούς να ισούται με τέλειο τετράγωνο.
Λύνοντας το σύστημα :
, , .
Έχουμε
Για και έχουμε:

Αλλά επειδή φυσικοί έχουμε .

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε υπάρχει για τον οποίο οι αριθμοί ανήκουν στο .

Έστω με τότε για έχουμε.

για καθε άρα ισχύει για κάθε .

Για μπορούμε να πάρουμε τους αριθμούς.

[Al.Koutsouridis]

Συγχαρητήρια στους Ορέστη Λιγνό και Εμμανουήλ Δημήτριο για τα χάλκινα μετάλλια και για την προσπάθεια στα υπόλοιπα παιδία. Η τρέχουσα ελληνική ομάδα είναι πολύ νεαρή και έχει ελπιδοφόρο μέλλον. Τα προβλήματα ήταν εξαιρετικά δύσκολα.

[Τσιαλας Νικολαος]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και ιδιαίτερα στον Ορέστη μας για το χάλκινο μετάλλιο!!

[gbaloglou]

Θερμά συγχαρητήρια, στον δικό μας Ορέστη ιδίως, για την προσπάθεια και το αποτέλεσμα!

[Πανέμορφο το δεύτερο πρόβλημα, μια πρώτη επιπόλαιη ματιά δείχνει επαγωγή, είναι όμως πολύ βαθύτερο -- δεν έχω ιδέα πως λύνεται, και βλέπω ότι ήταν ο 'φονιάς' της υπόθεσης (το έλυσαν δύο Ρώσοι, ένας Κινέζος, κανένας Αμερικανός)...]

[george visvikis]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά για την συμμετοχή τους και ιδιαίτερα στον "δικό μας"

Ορέστη για την επίδοσή του Έχει να δώσει πολλά ακόμα στην ΙΜΟ!!!

[S.E.Louridas]

Συγχαρητήρια στους Εμμανουήλ Δημήτριο και Λιγνό Ορέστη για τα χάλκινα μετάλλια και για την προσπάθεια στα υπόλοιπα παιδία. Καλή συνέχεια με Υγεία και Πρόοδο.

[achilleas]

Θερμά συγχαρητήρια, στον δικό μας Ορέστη ιδίως, για την προσπάθεια και το αποτέλεσμα!

[Πανέμορφο το δεύτερο πρόβλημα, μια πρώτη επιπόλαιη ματιά δείχνει επαγωγή, είναι όμως πολύ βαθύτερο -- δεν έχω ιδέα πως λύνεται, και βλέπω ότι ήταν ο 'φονιάς' της υπόθεσης (το έλυσαν δύο Ρώσοι, ένας Κινέζος, κανένας Αμερικανός)...]

Καλησπέρα!

Έναν Ρώσο βλέπω εδώ. Δύο Ισραηλινούς, δύο Γερμανούς κτλ. Την καλύτερη επίδοση χώρας στο #2 την είχε το Ισραήλ.

Υπάρχει μια πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση εδώ. Το post του Δημήτρη Μελά (#47) και το (#58) είναι αρκετά ενδιαφέροντα.

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά! Θερμά συγχαρητήρια στον Ορέστη Λιγνό, στον Δημήτρη Εμμανουήλ για τα χάλκινα μετάλλια, και τον Γεώργιο Γεωργελέ για την εύφημο μνεία.

Ο επίσης "δικός" μας, Πρόδρομος Φωτιάδης ήταν πολύ κοντά. Συγχαρητήρια, Πρόδρομε!

Φιλικά,

Αχιλλέας

[gbaloglou]

Θερμά συγχαρητήρια, στον δικό μας Ορέστη ιδίως, για την προσπάθεια και το αποτέλεσμα!

[Πανέμορφο το δεύτερο πρόβλημα, μια πρώτη επιπόλαιη ματιά δείχνει επαγωγή, είναι όμως πολύ βαθύτερο -- δεν έχω ιδέα πως λύνεται, και βλέπω ότι ήταν ο 'φονιάς' της υπόθεσης (το έλυσαν δύο Ρώσοι, ένας Κινέζος, κανένας Αμερικανός)...]

Καλησπέρα!

Έναν Ρώσο βλέπω εδώ. Δύο Ισραηλινούς, δύο Γερμανούς κτλ. Την καλύτερη επίδοση χώρας στο #2 την είχε το Ισραήλ.

Υπάρχει μια πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση εδώ. Το post του Δημήτρη Μελά (#47) και το (#58) είναι αρκετά ενδιαφέροντα.

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά! Θερμά συγχαρητήρια στον Ορέστη Λιγνό, στον Δημήτρη Εμμανουήλ για τα χάλκινα μετάλλια, και τον Γεώργιο Γεωργελέ για την εύφημο μνεία.

Ο επίσης "δικός" μας, Πρόδρομος Φωτιάδης ήταν πολύ κοντά. Συγχαρητήρια, Πρόδρομε!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Επικροτώ και επαυξάνω!

[Ο δεύτερος Ρώσος είναι αυτός που πήρε 5 μονάδες -- ο μόνος διαγωνιζόμενος μ' αυτό το αποτέλεσμα στο P2! (Είδα λίγο και τα σχόλια, το τέχνασμα με τον συζυγή το είχα σκεφθεί αλλά δεν το 'πίστεψα'. Το μυαλό μου έφυγε σε άλλες κατευθύνσεις, όπως διακρίνουσα (!) κάποιας μυστηριώδους δευτεροβάθμιας, κλπ)]

[achilleas]

Επικροτώ και επαυξάνω!

[Ο δεύτερος Ρώσος είναι αυτός που πήρε 5 μονάδες -- ο μόνος διαγωνιζόμενος μ' αυτό το αποτέλεσμα στο P2! (Είδα λίγο και τα σχόλια, το τέχνασμα με τον συζυγή το είχα σκεφθεί αλλά δεν το 'πίστεψα'. Το μυαλό μου έφυγε σε άλλες κατευθύνσεις, όπως διακρίνουσα (!) κάποιας μυστηριώδους δευτεροβάθμιας, κλπ)]

Θεώρησα ότι «το έλυσε» σήμαινε 7/7.

7 μονάδες πήραν 16 διαγωνιζόμενοι. Πολλοί στο AoPS στοιχημάτιζαν για λιγότερους.

Στο πρόβλημα αυτό η Κίνα σημείωσε 16 μονάδες. Την 2η μέρα, σημείωσε 42/42 και στα τρία προβλήματα, μια επίδοση πραγματικά εντυπωσιακή!

Αχιλλέας

[Mihalis_Lambrou]

Άπειρα συγχαρητήρια στα παιδιά.

Τα θέματα είναι πάρα πολύ δύσκολα ακόμα και αν έχει κανείς στην διάθεσή του όσες ώρες ή μέρες θέλει. Μόνο τον θαυμασμό μου μπορώ να εκφράσω σε όποιον παλαίψει τέτοια θέματα.

[Demetres]

Συγχαρητήρια σε όλους! Ήταν μια πολύ δύσκολη ολυμπιάδα και όλα τα cutoffs ήταν πολύ χαμηλότερα από ότι συνήθως.

[Μπάμπης Στεργίου]

Συγχαρητήρια σε όλα παιδιά !

Ιδιαίτερες ευχές και επαίνους στον Ορέστη, που είναι και μέλος μας και τον παρακολουθούμε από ...πολύ μικρό !

Μας κάνει όλους περήφανους !

Καλό καλοκαίρι !!!

[Τσιαλας Νικολαος]

Ανακοινώθηκαν και οι αναλυτικές βαθμολογίες εδω: http://www.hms.gr/?q=node/1784
Αναλυτικά αποτελέσματα της κάθε χώρας μπορείτε να δείτε εδώ: https://www.imo-official.org/results.aspx

Να αναφέρουμε επίσης ότι ο Tsz Fung Chui μαθητής του Hong Kong γίνεται ο δεύτερος μικρότερος μαθητής στην ιστορία του διαγωνισμού που καταλαμβάνει χρυσό μετάλλιο σε ηλικία 13 χρόνων και 90 ημερών!!! Για την ιστορία ο μικρότερος όλων των εποχών ήταν ο Terence Tao!!!

[mick7]

H απόδοση της ελληνικής ομάδας δεν είναι ικανοποιητική. Γιατί να μην έχουμε κάτι ανάλογο του Ισραήλ που είναι πληθυσμιακά το μισό της Ελλάδας για να μην αναφερθώ στις συνθήκες που επικρατούν στις δυο χώρες.Ας αντιγράψουμε προγράμματα στρατηγικές που αυτό η άλλες χώρες εφαρμόζουν.Μπορούμε και καλύτερα νομίζω.



Μια περίπτωση διαγωνιζομένου που ξεχωρίζει είναι αυτής της Βρετάνης Yuka Machino με 2 χρυσά...που καταρρίπτει κάποια στερεότυπα σχετικά με την ικανότητα των γυναικών στα Μαθηματικά.



https://www.somersetcountygazette.co.uk ... titor-imo/

[Al.Koutsouridis]

H απόδοση της ελληνικής ομάδας δεν είναι ικανοποιητική. Γιατί να μην έχουμε κάτι ανάλογο του Ισραήλ που είναι πληθυσμιακά το μισό της Ελλάδας για να μην αναφερθώ στις συνθήκες που επικρατούν στις δυο χώρες.Ας αντιγράψουμε προγράμματα στρατηγικές που αυτό η άλλες χώρες εφαρμόζουν.Μπορούμε και καλύτερα νομίζω.

Θα το έθετα αλλιώς. Η απόδοση της ελληνικής πολιτείας δεν είναι ικανοποιητική. Γιατί η ομάδα αποτελείται από τα συγκεκριμένα παιδιά τα οποία δεν ξέρω αν είχαν τα ίδια μέσα με μαθητές χωρών που είναι στην πρώτη δεκάδα, για να φτάσουν σε παραπάνω επιτυχίες. Παρεμπιπτόντως ο πληθυσμός δεν έχει τόσο μεγάλη σημασία (ως ένα σημείο) και το Ισραήλ έχει παρόμοιο πληθυσμό με την Ελλάδα και πολύ μεγαλύτερη και πιο δραστήρια διασπορά.

Είναι όμως ένα ενδιαφέρον ζήτημα για το πως μπορεί να βελτιωθεί η θέση της Ελλάδας στους παγκόσμιους διαγωνισμούς. Αν βέβαια κάτι τέτοιο το θεωρούμε σημαντικό σαν κοινωνία.

[DrStrange]

Έχοντας συμμετάσχει σε πολλές ομάδες ΙΜΟ και ΒΜΟ η άποψή μου είναι ότι η θέση κάποιας χώρας δεν συνεπάγεται αντίστοιχη υψηλή ή χαμηλή μαθηματική παιδεία. Οι διαγωνισμοί γίνονται για την κοινωνικοποίηση/δικτύωση των μαθητών και την ισχυροποίηση των βιογραφικών τους και όχι για επίδειξη κάποιας εθνικής υπεροχής. Άρα δεν βλέπω λόγο να καίει άτομα που ανεβάζουν boomer memes σε μαθηματικό forum η επίδοση 6 ατόμων. Και γιατί να έχουμε κάτι σαν του Ισραήλ? Κάποιος πρέπει να είναι στις χαμηλότερες θέσεις. Έτυχε να είμαστε εμείς. Μάλλον θα έπρεπε να μας νοιάζει πως θα δοθεί στήριξη στους μαθητές και τους καθηγητές που συμμετέχουν σε τέτοιους διαγωνισμούς και όχι πως θα τους κάνουμε να λύνουν παραπάνω θέματα, που στο κάτω κάτω δεν μας λέει και κάτι. Αν κάποιοι περιμένουν να βγούμε 12οι στην ΙΜΟ για να αισθανθούν περήφανοι για την χώρα τους μάλλον κάτι παίζει.

[Mihalis_Lambrou]

H απόδοση της ελληνικής ομάδας δεν είναι ικανοποιητική.

Θλίβομαι όταν διαβάζω τέτοια σχόλια για τους μαθητές μας.

Η δική μου άποψη είναι ότι οι μαθητές της ομάδας μας ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΔΥΝΑΤΟΙ, με εξαιρετικό ταλέντο. Δεν έχει παρά να δει κανείς τις λύσεις που αναρτούν στο εδώ φόρουμ, όσοι είναι μέλη, για να κρίνει. Θα παρατηρήσει ότι λύνουν ιδιαίτερα δύσκολα θέματα με μαεστρία και επινοητικότητα. Συχνά οι λύσεις τους είναι συγκρίσιμες με λύσεις πολύ έμπειρων και δυνατών εξ ημών των Δασκάλων τους. Αρκετές φορές είχα την εμπειρία να δυσκολευτώ να λύσω μία άσκηση ή να μην καταφέρω καν να την λύσω, και όμως να δω αργότερα μία λύση μαθητού μας. Ντρέπομαι άραγε; Όχι βέβαια! Ίσα ίσα νοιώθω υπερηφάνεια για τους μικρούς μας φίλους που μας κοιτάζουν στον οφθαλμό επί ίσοις όροις. Έχουν κάθε δικαίωμα να ισχυριστούν αυτό που έλεγαν οι νέοι στην αρχαία Σπάρτη στους πρεσβύτερους: Άμμες δε γ’ εσόμεθα πολλώ κάρρονες.

Πριν από οποιοδήποτε αρνητικό σχόλιο για τους μαθητές μας καλό είναι να αναλογιστεί ο καθένας μας πόσα από τα θέματα της Διεθνούς Ολυμπιάδας θα έλυνε ο ίδιος. Έχω άποψη στο θέμα γιατί έχω κάνει το πείραμα αρκετές φορές στην Διδασκαλία μου σε διάφορα Τμήματα Μαθηματικών, σε ένα εύρος τόπων ανά τον κόσμο.

Το πείραμα που κάνω είναι:

α) Μαζεύω τις πιο εύκολες ασκήσεις (εκείνες δηλαδή που τις έλυσαν οι περισσότεροι διαγωνιζόμενοι) στην Διεθνή Ολυμπιάδα. Συνήθως είναι το θέμα 1.

β) Δίνω ένα τεστ σε φοιτητές Μαθηματικού (ολόκληρο το αμφιθέατρο) με τρία τέτοια θέματα. Το κίνητρο που δίνω είναι ότι αν κάποιος λύσει ένα θέμα θα περάσει με 10 εκείνη την στιγμή το μάθημά μου.

Το αποτέλεσμα είναι κάπου το 95% των φοιτητών δεν λύνει κανένα θέμα. Ένας μικρός αριθμός λύνει "μισό θέμα" (έπιασε δηλαδή μια ιδέα αλλά δεν έφτασε πολύ μακριά) και μόνο ένας ή δύο εξαιρετικοί φοιτητές, με υψηλότατη βαθμολογία στις Εισαγωγικές, λύνει κάποιο ή κάποια από τα θέματα. Αυτοί οι τελευταίοι τελικά παίρνουν πτυχίο με μέσο όρο 8,5 και πάνω. Είναι τα αστέρια μας, και το 10 που τους έδωσα είναι δώρον άδωρον γιατί θα το έπαιρναν έτσι και αλλιώς.

Τέλος, ας προσθέσω ότι ένα μετάλλιο στην Διεθνή Ολυμπιάδα δεν είναι μόνο "έλυσα κάποια θέματα" και μάλιστα με τον χρόνο να τρέχει εναντίον μου, αλλά ξεπέρασα πολλούς προικισμένους, απίστευτους, ισχυρότατους διαγωνιζόμενους. Εκεί σε θέλω. ΕΣΥ ΜΠΟΡΕΙΣ; Σκέψου το.

[Τσιαλας Νικολαος]

Θα συμφωνήσω απόλυτα με τον κύριο Μιχάλη! Γνωρίζοντας τα περισσότερα παιδιά, ξέρω ότι η προσπάθεια τους είναι τρομερή! Αν η θέση της Ελλάδας είναι χαμηλή δεν οφείλεται στα παιδιά! Απλά το εκπαιδευτικό συστημα μας είναι "τραγικό" ... Δεν επιτρέπει στα παιδιά αυτά να προχωρήσουν πιο μπροστά και πιο ελεύθερα! Βαλτώνουν μέσα στο σχολείο περιμένοντας να δώσουν πανελλήνιες και χάνουν άπειρες ώρες!!! Δεν θα πω πολλά...θα αναφέρω μόνο τον "δικό μας" Ορέστη ο οποίος από τετάρτη δημοτικού λύνει με άνεση πανεπιστημιακά μαθηματικά... Παρόλα αυτά καθόταν με όλα τα παιδάκια να ακούει την δασκάλα του να εξηγεί τι είναι κλάσμα....

[Al.Koutsouridis]

Νομίζω απλά ήταν αδόκιμος ο όρος που χρησιμοποίησε ο mick7 και εννοούσε Ελλάδα σαν χώρα και όχι τους μαθητές. Το ουσιώδες είναι σε αυτό που καταλήγει αν μπορούμε καλύτερα και ποιες στρατηγικές βοηθάνε. Και πάλι αν αυτό το θεωρούμε κάτι καλό.

Θα συμφωνήσω με τον DrStrange μόνο στην πρώτη πρόταση, ότι δηλαδή δεν συνεπάγεται απαραίτητα καλό αποτέλεσμα στις μαθηματικές ολυμπιάδες και υψηλή μαθηματική παιδεία στον γενικό πληθυσμό ή ακόμα και στην ανώτατη εκπαίδευση.

Όπως και το να είσαι νικητής Δ.Μ.Ο. δε συνεπάγεται ότι θα γίνεις μεγάλος μαθηματικός.

Όμως υπάρχει ισχυρή συσχέτιση των καλών αποτελεσμάτων στις ολυμπιάδες με το επίπεδο των μαθηματικών στα υψηλά επίπεδα των επιστημών. Έχει σημασία να εξεταστεί πως διασυνδέονται αυτά και αν μας "συμφέρει" αυτή η διασύνδεση.

Ανεξάρτητα αν αυτό βοηθάει στις ολυμπιάδες ή όχι. Ένα ερώτημα. Πόσα καλοκαιρινά σχολεία τρέχουν αυτή την στιγμή στην Ελλάδα για τους ταλαντούχους μαθητές, αλλά και για άλλους;