Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

#1

Με αφορμή την συζήτηση εδώ, αλλά χωρίς να εξαρτάται από αυτήν η απόδειξη της, προτείνω:

Να αποδειχθεί η ανισότητα $e^x\geq (3-e)x^3+(2e-5)x^2+x+1$ για $0\leq x\leq 1$ .

Λάμπρος Μπαλός · #2

Υπέροχα.

Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση

$f(x)=e^{x}-(3-e)x^{3}-(2e-5)x^{2}-x-1$ , στο [0,1]

.

Είναι :

$f'(x)=e^{x}-3(3-e)x^{2}-2(2e-5)x-1$
$f''(x)=e^{x}-6(3-e)x-2(2e-5)$
$f'''(x)=e^{x}-6(3-e)$

f(0)=f(1)=0

Από Rolle, υπάρχει $a \in (0,1) : f'(a)=0$ .

f'(0)=f'(a)=f'(1)=0

.
Από Rolle, υπάρχουν $b \in (0,a)$ και $c \in (a,1)$ τέτοια,
ώστε f''(b)=f''(c)=0

.

Τέλος, από Rolle, υπάρχει $d \in (b,c)$ τέτοιο, ώστε f'''(d)=0

.

Τώρα, η f'''

είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1]

οπότε μηδενίζεται μόνο στο

και είναι αρνητική στο [0,d)

και θετική στο (d,1]

.
Έτσι, η f''

είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,d]

και γνησίως αύξουσα στο [d,1]

και συνεπώς θα έχει το πολύ δύο ρίζες και εφόσον f''(b)=f''(c)=0

, οι

και

είναι οι μοναδικές ρίζες της f''

.
Εύκολα βλέπουμε το πρόσημο της f''

το οποίο μας δίνει τη μονοτονία της

.
Η

είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα στο [0,b]

, γνησίως φθίνουσα στο [b,c]

και γνησίως αύξουσα στο [c,1]

.
Θα έχει τρεις ρίζες το πολύ οι οποίες είναι οι γνωστές πλέον

,

και

.

Εύκολα πάλι το πρόσημο της

πάει ως εξής :
Η

είναι θετική στο (0,a)

και αρνητική στο (a,1)

.
Άρα, η

είναι γνησίως αύξουσα στο [0,a]

και γνησίως φθίνουσα στο [a,1]

.
Εφόσον

, η $f(x) \geq 0$ , για κάθε $x \in [0,1]$ και η ισότητα πιάνεται μόνο στα άκρα.

#3

Σ' ευχαριστώ για την απόδειξη σου (και εν γένει συμμετοχή σου), Λάμπρο. Παραθέτω την δική μου απόδειξη (που δεν ήταν τελικά τόσο σύντομη όσο νόμιζα):

Παρατηρούμε ότι f(0)=f(1)=0

, όπου

, αρκεί επομένως να δειχθεί η $f(x_0)\geq 0$ για το τυχόν σημείο $x_0\in (0,1)$ όπου f'(x_0)=0

. Από την

λαμβάνουμε $e^{x_0}=3(e-3)x_0^2+2(2e-5)x_0+1$ , οπότε με αντικατάσταση προκύπτει η

f(x_0)=x_0[-(3-e)x_0^2+(14-5e)x_0+(4e-11)].

Η ζητούμενη $f(x_0)\geq 0$ θα προέκυπτε λοιπόν άμεσα από την $-(3-e)x^2+(14-5e)x+(4e-11)\geq 0$ για 0<x<1

, η οποία δυστυχώς δεν ισχύει (για πολύ μικρές τιμές του

). Παρατηρούμε όμως ότι ισχύει για $x\geq 1/2$ : πράγματι, θέτοντας g(x)=-(3-e)x^2+(14-5e)x+(4e-11)

ισχύουν οι g(1)=0

και $g(1/2)=\dfrac{-19+7e}{4}>0$ , οπότε η ζητούμενη είναι άμεση λόγω της κοιλότητας της

.

Αρκεί λοιπόν να δειχθεί η $x_0\geq 1/2$ για το τυχόν σημείο x_0

όπου

. Αρκεί δηλαδή να δειχθεί η

$x<1/2\rightarrow f'(x)>0.$

Η ζητούμενη θετικότητα της f'(x)=e^x-3(3-e)x^2-2(2e-5)x-1

στο

προκύπτει από την κοιλότητα της στο διάστημα αυτό (άμεση συνέπεια της $\sqrt{e}<6(3-e)$ ) και από τις f'(0)=0

, $f'(1/2)=\dfrac{7+4\sqrt{e}-5e}{4}>0$ .

[Υπάρχει όντως σημείο μηδενισμού της

, το $x_0\approx 0,512454$ ]

#4

Υπάρχει βεβαίως μια κάποια γοητεία στην 'ηρωική' μου απόδειξη (#3), πλην όμως ... πολύ πιο αποτελεσματική -- αλλά και πιο σχολική! -- είναι νομίζω η απόδειξη του Λάμπρου (#2), ειδικά επειδή καταφέρνει να αποδείξει το ζητούμενο χωρίς να 'λερώσουμε τα χέρια μας' (όπως ας πούμε να δείξουμε θετικότητα της συνάρτησης-διαφοράς

σε ένα έστω σημείο, όπως πχ εδώ), και, ακόμη περισσότερο, επειδή αποδεικνύει με τον ίδιο ακριβώς τρόπο την γενικότερη ανισότητα

$a^x\geq (2-2a+(1+a)lna)x^3+(3a-3-(2+a)lna)x^2+(lna)x+1$ για $a\geq 1$ , $0\leq x\leq 1$ .

Οι συντελεστές της τριτοβάθμιας προκύπτουν από την συνθήκη f(0)=f(1)=f'(0)=f'(1)=0

: είναι αξιοσημείωτο πως η επιπεδοποίηση στα άκρα οδηγεί σε τόσο καλές προσεγγίσεις εντός του διαστήματος -- εκθετική και τριτοβάθμια δεν ξεχωρίζουν καν στο γράφημα! -- και ακόμη πιο ενδιαφέρον ότι η σχετική σφιχτή ανισότητα προκύπτει τόσο εύκολα και ανώδυνα μέσω μιας απόδειξης όπως αυτή του Λάμπρου (#2)!

#5

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 29, 2021 8:00 pm
Υπάρχει βεβαίως μια κάποια γοητεία στην 'ηρωική' μου απόδειξη (#3), πλην όμως ... πολύ πιο αποτελεσματική -- αλλά και πιο σχολική! -- είναι νομίζω η απόδειξη του Λάμπρου (#2), ειδικά επειδή καταφέρνει να αποδείξει το ζητούμενο χωρίς να 'λερώσουμε τα χέρια μας' (όπως ας πούμε να δείξουμε θετικότητα της συνάρτησης-διαφοράς σε ένα έστω σημείο, όπως πχ εδώ), και, ακόμη περισσότερο, επειδή αποδεικνύει με τον ίδιο ακριβώς τρόπο την γενικότερη ανισότητα

$a^x\geq (2-2a+(1+a)lna)x^3+(3a-3-(2+a)lna)x^2+(lna)x+1$ για $a\geq 1$ , $0\leq x\leq 1$ .

Κάπως εναλλακτικά, και σύμφωνα με το παραπάνω παρενθετικό σχόλιο, αλλά και τα περί τρίτης παραγώγου που χρησιμοποίησε ο Λάμπρος, αρκεί να δείξουμε την θετικότητα της συνάρτησης-διαφοράς στο 1/2

, κάτι που ανάγεται στην ανισότητα

$8\sqrt{a}\geq 4+4a+lna-alna$ για $a\geq 1$ , $0\leq x\leq 1$ .

(Η ανισότητα αυτή αποδεικνύεται κατά τα γνωστά μέσω διαδοχικών παραγωγίσεων ... που καταλήγουν στην ισχύουσα $2\sqrt{a}\leq 1+a$ .)

Οι συντελεστές της τριτοβάθμιας προκύπτουν από την συνθήκη : είναι αξιοσημείωτο πως η επιπεδοποίηση στα άκρα οδηγεί σε τόσο καλές προσεγγίσεις εντός του διαστήματος -- εκθετική και τριτοβάθμια δεν ξεχωρίζουν καν στο γράφημα! -- και ακόμη πιο ενδιαφέρον ότι η σχετική σφιχτή ανισότητα προκύπτει τόσο εύκολα και ανώδυνα μέσω μιας απόδειξης όπως αυτή του Λάμπρου (#2)!

Η προσέγγιση είναι πολύ καλή για σχετικά μικρές τιμές, $1\leq a\leq 10$ ας πούμε. Το μέγιστο σφάλμα στο (0,1)

-- η μέγιστη διαφορά εκθετικής και τριτοβάθμιας για 0<x<1

-- δίνεται, ακολουθώντας την μέθοδο μου (#3) που βασίζεται στον υπολογισμό της f(x_0)

με αντικατάσταση της $a^{x_0}$ από την f'(x_0)=0

, από τον τύπο

$\dfrac{x_0}{lna}[(6(a-1)-2(2+a)lna-(lna)^2)+(6(1-a)+6lna+(2+a)(lna)^2)x_0$
-(2(1+a)lna+(1+a)(lna)^2)x_0^2].

Για

, η πολύ ρεαλιστική προσέγγιση $x_0\approx 1/2$ δίνει μέγιστη διαφορά περίπου $\dfrac{7e-19}{8}\approx 0,0035$ ... κάτι που εξηγεί την ταύτιση των δύο γραφημάτων (εκθετικής και τριτοβάθμιας) που έχουμε ήδη αναφέρει.

Λάμπρος Μπαλός · #6

Πρώτα απ' όλα, θεωρώ εξαιρετική την άσκηση της δημοσίευσης. Αν "σπάσει" σε κατάλληλα ερωτήματα θα μπορούσε να αποτελέσει ένα ωραίο συμπαγές θέμα μελέτης συνάρτησης με ωραία πλοκή και κυρίως ένα ουσιώδες φινάλε. Έχει κάτι να δώσει και αυτό διότι κατασκευάστηκε πάνω στο τελείωμά της και όχι στην αρχή της με στυλ "πιάνω μια συνάρτηση, παραγωγίζω γιούργια κι όπου βγάλει στριμώχνω ερωτήματα".

Πέρα από αυτό, η μέθοδος (μπορεί να γίνει πιο στιβαρή ακόμη) επιδιώκει να προσεγγίσει μία συνάρτηση με ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο. Η συνάρτηση εδώ είναι η εκθετική. Λειτουργεί καλά σε όλες τις κυρτές (ή κοίλες) (Διορθώνω. Μάλλον σε αυτές με σταθερή μονοτονία τρίτης παραγώγου) σε κλειστά μικρά διαστήματα. Αυτό δεν είναι λίγο. Στις περιοχές κοντά στα άκρα η προσέγγιση είναι ισχυρότατη σε αντίθεση με το πολυώνυμο Taylor που έχει μεγάλη ισχύ γύρω από το μέσο (ας πούμε) του διαστήματος.

Το ερώτημα. Ποιά προσέγγιση είναι καλύτερη; Αυτή της δημοσίευσης ή το αντίστοιχο τριτοβάθμιο taylor στο μέσο; Αν έπρεπε να διαλέξουμε μία προσεγγιστική τριτοβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση (όχι κλαδική) ποιά θα διαλέγαμε;

#7

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 9:06 pm
Πρώτα απ' όλα, θεωρώ εξαιρετική την άσκηση της δημοσίευσης. Αν "σπάσει" σε κατάλληλα ερωτήματα θα μπορούσε να αποτελέσει ένα ωραίο συμπαγές θέμα μελέτης συνάρτησης με ωραία πλοκή και κυρίως ένα ουσιώδες φινάλε. Έχει κάτι να δώσει και αυτό διότι κατασκευάστηκε πάνω στο τελείωμά της και όχι στην αρχή της με στυλ "πιάνω μια συνάρτηση, παραγωγίζω γιούργια κι όπου βγάλει στριμώχνω ερωτήματα".

Πέρα από αυτό, η μέθοδος (μπορεί να γίνει πιο στιβαρή ακόμη) επιδιώκει να προσεγγίσει μία συνάρτηση με ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο. Η συνάρτηση εδώ είναι η εκθετική. Λειτουργεί καλά σε όλες τις κυρτές (ή κοίλες) (Διορθώνω. Μάλλον σε αυτές με σταθερή μονοτονία τρίτης παραγώγου) σε κλειστά μικρά διαστήματα. Αυτό δεν είναι λίγο. Στις περιοχές κοντά στα άκρα η προσέγγιση είναι ισχυρότατη σε αντίθεση με το πολυώνυμο Taylor που έχει μεγάλη ισχύ γύρω από το μέσο (ας πούμε) του διαστήματος.

Το ερώτημα. Ποιά προσέγγιση είναι καλύτερη; Αυτή της δημοσίευσης ή το αντίστοιχο τριτοβάθμιο taylor στο μέσο; Αν έπρεπε να διαλέξουμε μία προσεγγιστική τριτοβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση (όχι κλαδική) ποιά θα διαλέγαμε;

Λάμπρο ΝΑΙ, νομίζω μάλιστα πως η απόδειξη σου (#2), σε αντίθεση με την δική μου (#5), δουλεύει για το παρακάτω γενικό:

Αν οι

,

μηδενίζονται στα άκρα διαστήματος [a,b]

και η

είναι γνησίως αύξουσα [φθίνουσα] στο (a,b)

τότε η

είναι θετική [αρνητική] στο (a,b)

.

Όσον αφορά τις προσεγγίσεις, επισυνάπτω προς επίρρωση -- ή ίσως και απάντηση -- των όσων έγραψες ένα γράφημα της 10^x

στο

μαζί με τις δύο προσεγγίσεις της (Taylor και ... Μπαλόγλου-Μπαλού).

: δύο-προσεγγίσεις.png (17.51 KiB) Προβλήθηκε 2331 φορές

Λάμπρος Μπαλός · #8

Ωραία.
Όπως και να 'χει, το κρατώ περισσότερο σαν μια ωραία άσκηση και μια όμορφη μαθηματική περιπέτεια. Βεβαίως έχει μαθηματική αξία η οποία όμως σίγουρα χωρά βελτίωση. Πιστεύω πως δεν λειτουργεί (ακόμη) τόσο ισχυρά ως προς την προσέγγιση κάθε συνάρτησης πέρα από τις περιοχές των άκρων, χωρίς να ξέρω όμως από τί μπορεί να εξαρτάται.
Σας ευχαριστώ πολύ.

Λάμπρος Μπαλός · #9

Για παράδειγμα, αν με την παραπάνω τακτική προσεγγίσω ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο τότε προφανώς θα έχω ταύτιση.
Αν προσεγγίσω την $f(x)=x^{5}$ στο [0,k]

τότε λόγω του ότι f'(0)=0

, θα δώσω το περιθώριο στο τριτοβάθμιο προσεγγιστικό να πάρει την κατηφόρα μετά το

και δυστυχώς θα την πάρει. Η προσέγγιση χαλάει πολύ. Ενώ αν έκανα την ίδια προσέγγιση στο [0.1, k]

, ίσως να πήγαινε καλύτερα.
Προκύπτουν τα εξής :

$x^{5} \geq 3x^{3}-2x^{2}$ , στο [0,1]

(χαλαρό) ενώ
$x^{5} \geq 23x^{3}-66x^{2}+68x-24$ , στο [1,2]

(σφιχτό).

ksofsa · #10

Καλημέρα!

Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση (εκτός φακέλου):

Η ανισότητα γράφεται:

$f(x)=\dfrac{e^x-x-1}{x^2}\geq (3-e)x+(2e-5)$ .

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{e^x-x-1}{x^2}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{x}{3!}+\dfrac{x^2}{4!}+...$ είναι κυρτή. Μάλιστα , οι παράγωγοι όλων των τάξεων είναι θετικές, γεγονός που προκύπτει από την όσες φορές θέλουμε παραγώγιση της συνάρτησης στη μορφή της απειροσειράς (κάθε παράγωγος είναι γραμμικός συνδυασμός των 1,x,x^2,x^3,...

με θετικούς συντελεστές).

Είναι $f'(x)=\dfrac{xe^x-2e^x+x+2}{x^3}$ .

Είναι f(1)=e-2

και

.

Αφού η

κυρτή , είναι πάνω από την εφαπτομένη στο x=1

.

Τελικά, $f(x)\geq (x-1)f'(1)+f(1)\Leftrightarrow \dfrac{e^x-x-1}{x^2}\geq (3-e)x+(2e-5)$ , που είναι η ζητούμενη ανισότητα.

Θα συμφωνήσω ότι πρόκειται για θέμα με ισχυρή εκπαιδευτική αξία.

#11

Πολύ πολύ ενδιαφέρον, αγαπητέ Κώστα! Βρήκες έναν εντελώς διαφορετικό από τον δικό μου τρόπο παραγωγής του κάτω φράγματος, έναν τρόπο που σίγουρα με εκπλήσσει (αν και 'συμβατός' με την παρατήρηση του Λάμπρου για καλύτερη προσέγγιση στο

παρά στο

, κλπ).

Φυσικά η μέθοδος σου γενικεύεται για πολυώνυμα μεγαλύτερου βαθμού και καλύτερες προσεγγίσεις (όπως βέβαια και η αντίστοιχη για το άνω φράγμα εδώ), Χρησιμοποιώντας για παράδειγμα την

$\displaystyle g(x)=\dfrac{e^x-\dfrac{x^2}{2}-x-1}{x^3}$

και την

$g(x)\geq g'(1)(x-1)+g(1)$

... καταλήγουμε στο βελτιωμένο κάτω φράγμα

$\left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^4+(3e-8)x^3+\dfrac{x^2}{2}+x+1$ (για $0\leq x\leq 1$ πάντοτε).

Πράγματι, ισχύουν οι ανισότητες

$e^x\geq \left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^4+(3e-8)x^3+\dfrac{x^2}{2}+x+1\geq (3-e)x^3+(2e-5)x^2+x+1.$

Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την $\left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^2(x-1)^2\geq 0$ .

Όσον αφορά τις προσεγγίσεις, το WolframAlpha δίνει

$e^x-[(3-e)x^3+(2e-5)x^2+x+1]\leq 0,004371$ για $0\leq x\leq 1$

και

$e^x-\left[\left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^4+(3e-8)x^3+\dfrac{x^2}{2}+x+1\right]\leq 0,000451$ για $0\leq x\leq 1$ .

[Ως εδώ οι βελτιώσεις: ήλπιζα πχ για μηδενισμό ΚΑΙ της δεύτερης παραγώγου της $e^x-\left[\left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^4+(3e-8)x^3+\dfrac{x^2}{2}+x+1\right]$ στο

, αλλά κάτι τέτοιο δεν ισχύει. (Γενικότερα, πλήρη εποπτεία της διαμορφούμενης κατάστασης ΔΕΝ έχω...)]

#12

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 10, 2021 8:51 pm
Πολύ πολύ ενδιαφέρον, αγαπητέ Κώστα! Βρήκες έναν εντελώς διαφορετικό από τον δικό μου τρόπο παραγωγής του κάτω φράγματος, έναν τρόπο που σίγουρα με εκπλήσσει (αν και 'συμβατός' με την παρατήρηση του Λάμπρου για καλύτερη προσέγγιση στο παρά στο , κλπ).

Φυσικά η μέθοδος σου γενικεύεται για πολυώνυμα μεγαλύτερου βαθμού και καλύτερες προσεγγίσεις (όπως βέβαια και η αντίστοιχη για το άνω φράγμα εδώ), Χρησιμοποιώντας για παράδειγμα την

$\displaystyle g(x)=\dfrac{e^x-\dfrac{x^2}{2}-x-1}{x^3}$

και την

$g(x)\geq g'(1)(x-1)+g(1)$

... καταλήγουμε στο βελτιωμένο κάτω φράγμα

$\left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^4+(3e-8)x^3+\dfrac{x^2}{2}+x+1$ (για $0\leq x\leq 1$ πάντοτε).

Πράγματι, ισχύουν οι ανισότητες

$e^x\geq \left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^4+(3e-8)x^3+\dfrac{x^2}{2}+x+1\geq (3-e)x^3+(2e-5)x^2+x+1.$

Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την $\left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^2(x-1)^2\geq 0$ .

Όσον αφορά τις προσεγγίσεις, το WolframAlpha δίνει

$e^x-[(3-e)x^3+(2e-5)x^2+x+1]\leq 0,004371$ για $0\leq x\leq 1$

και

$e^x-\left[\left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^4+(3e-8)x^3+\dfrac{x^2}{2}+x+1\right]\leq 0,000451$ για $0\leq x\leq 1$ .

[Ως εδώ οι βελτιώσεις: ήλπιζα πχ για μηδενισμό ΚΑΙ της δεύτερης παραγώγου της $e^x-\left[\left(\dfrac{11-4e}{2}\right)x^4+(3e-8)x^3+\dfrac{x^2}{2}+x+1\right]$ στο , αλλά κάτι τέτοιο δεν ισχύει. (Γενικότερα, πλήρη εποπτεία της διαμορφούμενης κατάστασης ΔΕΝ έχω...)]

Ας παρατηρηθεί ότι η παραπάνω τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια αποτελούν κάτω φράγμα της εκθετικής για όλο το

και για το θετικό

, αντίστοιχα ... καθώς, στην μέθοδο του Κώστα, πολλαπλασιάζουμε τα δύο σκέλη της ανισότητας με x^2

και

, αντίστοιχα. Η μεταξύ τους ανισοτική σχέση, προκύπτουσα από την $e<\dfrac{11}{4}$ , ισχύει βέβαια για όλο το

. (Αντίστοιχες ανισοτικές σχέσεις για μεγαλύτερου βαθμού 'διαδοχικά' κάτω φράγματα προκύπτουν από την $e<1+...+\dfrac{1}{n!}+\dfrac{2}{(n+1)!}$ .)

: κάτω-φράγματα-εκθετικής.gif (5.96 KiB) Προβλήθηκε 2060 φορές

Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Re: Τριτοβάθμιο κάτω φράγμα εκθετικής

Μέλη σε σύνδεση