Μου το στενεύετε ;

KARKAR · #1

Με αφορμή το Δ1 των πανελλαδικών εξετάσεων 2021

: Να δειχθεί , χωρίς χρήση λογαριθμικών

πινάκων , ότι η εξίσωση : $lnx=\dfrac{1}{x}$ , έχει μοναδική ρίζα στο (1 , 2 )

, ( αντί του (1 , e )

) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 17, 2021 7:02 am
Με αφορμή το Δ1 των πανελλαδικών εξετάσεων : Να δειχθεί , χωρίς χρήση λογαριθμικών

πινάκων , ότι η εξίσωση : $lnx=\dfrac{1}{x}$ , έχει μοναδική ρίζα στο , ( αντί του ) .

Με περίσσευμα και το (1,2)

. Πράγματι για x=1

ισχύει $\ln x < \dfrac{1}{x}$ (καθώς ισοδυναμεί με το αληθές 0<1

) ενώ για

έχουμε την ανάποδη ανισότητα (ισοδυμναμεί με την $\ln 2 > \dfrac{1}{2}$ ή αλλιώς $2\ln 2 > 1$ , που σημαίνει $\ln 4 > 1$ ή αλλιώς 4>e

).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 17, 2021 7:02 am
Με αφορμή το Δ1 των πανελλαδικών εξετάσεων : Να δειχθεί , χωρίς χρήση λογαριθμικών

πινάκων , ότι η εξίσωση : $lnx=\dfrac{1}{x}$ , έχει μοναδική ρίζα στο , ( αντί του ) .

Θα μπορούσαμε, στον συγκεκριμένο φάκελο, να περιορίσουμε τη λύση στο διάστημα $\displaystyle \left( {\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{5}} \right)$ χωρίς τη χρήση λογισμικού; (Δεν το έχω εξετάσει).

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 17, 2021 11:08 am
Θα μπορούσαμε, στον συγκεκριμένο φάκελο, να περιορίσουμε τη λύση στο διάστημα $\displaystyle \left( {\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{5}} \right)$ χωρίς τη χρήση λογισμικού; (Δεν το έχω εξετάσει).

Ακόμα καλύτερα όρια από τα $\displaystyle \left( {\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{5}} \right)$ είναι τα $\displaystyle \left( {\frac{5 }{3},\frac{{9 }}{5}} \right)$ . Τα έχω ελέγξει χωρίς λογισμικό. Οι πράξεις είναι κάπως μεγάλες για διαγώνισμα σε τάξη αλλά δεν είναι ιδιαίτερα επίπονες.

Ας προσθέσω ότι τα κλάσματα αυτά δείχνουν ότι η αρχική εξίσωση έχει ρίζα κάπου ανάμεσα στο 1,7

και το

.

KARKAR · #5

Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την x^x=e

, και η ρίζα της είναι ο αριθμός : $x\simeq 1,76322$

Συνεπώς ένα ακόμη πιο στενό διάστημα από αυτό του Γιώργου είναι το $(\dfrac{7}{4} , \dfrac{9}{5} )$ .

Τότε όμως πρέπει να δείξουμε ότι : $(\dfrac{7}{4})^\frac{7}{4} <e$ , καθώς και ότι : $(\dfrac{9}{5})^\frac{9}{5} > e$

#6

Μόλις συμπλήρωσα το προηγούμενο μήνυμά μου, αλλά η υποβολή του συνέπεσε χρονικά με του Θανάση.

KARKAR · #7

Πάντως - το μήκους $\dfrac{1}{2}$ - διάστημα : $\left( \dfrac{3}{2} , 2 \right)$ , είναι εύκολο να το δει κανείς ,

αφού : $\left({ \dfrac{3}{2}} \right)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\dfrac{27}{8}}<\sqrt{\dfrac{32}{8}}=2<e$ , ενώ : 2^2=4>e

.

Λάμπρος Μπαλός · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 17, 2021 7:02 am
Με αφορμή το Δ1 των πανελλαδικών εξετάσεων : Να δειχθεί , χωρίς χρήση λογαριθμικών

πινάκων , ότι η εξίσωση : $lnx=\dfrac{1}{x}$ , έχει μοναδική ρίζα στο , ( αντί του ) .

Καλημέρα σας
Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί και με χρήση της εφαπτομένης της lnx

στο $x_{0}$ .
Η εξίσωσή της,
$y= \frac{1}{x_{0}} \cdot x-1+\frac{1}{x_{0}}$ .
Για x=1

, το $\frac{2}{x_{0}}-1>ln1=0$ .

Κάτι επιπλέον.
Η εφαπτομένη της lnx

στο $x_{0}$ τέμνει τον x'x

στο $x_{0}-1$ .
Το εμβαδόν του χωρίου που περ/ται από την lnx

, την εν λόγω εφαπτομένη και τον άξονα x'x

, είναι

$\frac{1}{2x_{0}}- \int_{1}^{x_{0}} lnxdx >0$
σχέση η οποία θα δώσει ένα αρκετά καλό κάτω φράγμα για το $x_{0}$ .

$x_{0}-2+\frac{1}{2x_{0}} > 0 \Leftrightarrow$

$x_{0}>1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Αυτό θα ήταν ένα ωραίο ερώτημα. Δυστυχώς, μας λείπουν τα ολοκληρώματα

Μου το στενεύετε ;

Μου το στενεύετε ;

Re: Μου το στενεύετε ;

Re: Μου το στενεύετε ;

Re: Μου το στενεύετε ;

Re: Μου το στενεύετε ;

Re: Μου το στενεύετε ;

Re: Μου το στενεύετε ;

Re: Μου το στενεύετε ;

Μέλη σε σύνδεση