Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα

KARKAR · #1

: Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 2811 φορές

Στο επίπεδο ενός παραλληλογράμμου ABCD

, θεωρούμε τυχόντα σημεία S , T

, ώστε τα τετράπλευρα

SATB , SDTC

να είναι κυρτά . Δείξτε ότι τα δύο αυτά τετράπλευρα , είναι επιπλέον και ισεμβαδικά .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 10, 2021 1:11 pm
Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα.pngΣτο επίπεδο ενός παραλληλογράμμου , θεωρούμε τυχόντα σημεία , ώστε τα τετράπλευρα

να είναι κυρτά . Δείξτε ότι τα δύο αυτά τετράπλευρα , είναι επιπλέον και ισεμβαδικά .

: κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα.png (23.71 KiB) Προβλήθηκε 2797 φορές

Και τα 2 τετράπλευρα έχουν ίσες διαγώνιους που σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 10, 2021 1:11 pm
Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα.pngΣτο επίπεδο ενός παραλληλογράμμου , θεωρούμε τυχόντα σημεία , ώστε τα τετράπλευρα

να είναι κυρτά . Δείξτε ότι τα δύο αυτά τετράπλευρα , είναι επιπλέον και ισεμβαδικά .

Εστω

$TNM\perp DC,SKL\perp DC,\upsilon _{1}=NT,\upsilon _{2}=MT,SK=\upsilon _{3},SL=\upsilon _{4}, MN=KL=d (SDTC)=\dfrac{1}{2}\upsilon _{3}DC+\dfrac{1}{2}DC\upsilon _{2}= \dfrac{1}{2}DC(\upsilon _{3}+\upsilon _{2}),(*) (SATB)=\dfrac{1}{2}AB(\upsilon _{1}+\upsilon _{4}),(**), \upsilon _{3}+\upsilon _{2}=d+\upsilon _{1}+\upsilon_{3} =\upsilon _{1}+\upsilon _{4}=d+\upsilon _{1}+\upsilon _{3}, (*),(**)\Rightarrow (SATB)=(SDTC)$

Lymperis Karras · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 10, 2021 1:11 pm
Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα.pngΣτο επίπεδο ενός παραλληλογράμμου , θεωρούμε τυχόντα σημεία , ώστε τα τετράπλευρα

να είναι κυρτά . Δείξτε ότι τα δύο αυτά τετράπλευρα , είναι επιπλέον και ισεμβαδικά .

Είχα γράψει την λύση αλλά με πρόλαβε ο κ. Σταματογιάννης...έκανα ακριβώς το ίδιο.

#5

: ισεμβαδικότητες.png (21.4 KiB) Προβλήθηκε 2748 φορές

Από τα $T\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ φέρνω παράλληλες στην

. Αυτές με τις παράλληλες ευθείες $AD\,\,,\,\,BC$ ορίζουν ένα νέο παραλληλόγραμμο KLMN

.

Επειδή : $\left( {TDC} \right) + \left( {SDC} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {DCMN} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {DKLC} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {KLMN} \right)$ , το ζητούμενο προφανές .

Για κάθε σημείο

της περιμέτρου παραλληλογράμμου ABCD

το τρίγωνο με κορυφή το

και βάση την απέναντι πλευρά

είναι σε εμβαδόν το μισό του εμβαδού του παραλληλογράμμου

: κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα_Βάση.png (5.34 KiB) Προβλήθηκε 2751 φορές

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 10, 2021 1:11 pm
Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα.pngΣτο επίπεδο ενός παραλληλογράμμου , θεωρούμε τυχόντα σημεία , ώστε τα τετράπλευρα

να είναι κυρτά . Δείξτε ότι τα δύο αυτά τετράπλευρα , είναι επιπλέον και ισεμβαδικά .

Και μία τραβηγμένη (αφού τελείωσαν οι καλές ιδέες ) Από 1ο θεώρημα διαμέσων:

: Α.Ε.Κ.png (32.7 KiB) Προβλήθηκε 2710 φορές

$\displaystyle S{A^2} + S{C^2} + T{B^2} + T{D^2} = 2S{M^2} + \frac{{A{C^2}}}{2} + 2T{M^2} + \frac{{B{D^2}}}{2} = S{B^2} + S{D^2} + T{A^2} + T{C^2}$

και $\boxed{S{A^2} - S{B^2} + T{B^2} - T{A^2} = S{D^2} - T{D^2} + T{C^2} - S{C^2}}$ εδώ επεμβαίνει ο $\rm Bretschneider:$

$\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt {A{B^2}S{T^2} - {{\left( {S{A^2} - S{B^2} + T{B^2} - T{A^2}} \right)}^2}} = \frac{1}{4}\sqrt {C{D^2}S{T^2} - {{\left( {S{D^2} - T{D^2} + T{C^2} - S{C^2}} \right)}^2}}$

απ' όπου $\boxed{(SATB)=(SDTC)}$

Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα

Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα

Re: Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα

Re: Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα

Re: Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα

Re: Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα

Re: Κιτρινόμαυρη ισεμβαδικότητα

Μέλη σε σύνδεση