Επί του διαφορικού

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha, \beta, \kappa, \lambda \in \mathbb{R}$ με $\alpha<\beta$ και $\kappa, \lambda$ θετικοί αριθμοί. Η συνάρτηση $\Sigma$ είναι διπλά παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και τέτοια ώστε

$\displaystyle{\left ( \kappa + \lambda \right ) \Sigma(x) \leq \kappa \Sigma (\alpha) + \lambda \Sigma (\beta) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

Να αποδειχθεί ότι:

$\Sigma(\alpha) = \Sigma(\beta)$ .
$\Sigma'(\alpha) = \Sigma'(\beta)$ .
υπάρχει $\xi \in (\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε $\Sigma''(\xi) =0$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 04, 2021 2:09 pm
Έστω $\alpha, \beta, \kappa, \lambda \in \mathbb{R}$ με $\alpha<\beta$ και $\kappa, \lambda$ θετικοί αριθμοί. Η συνάρτηση $\Sigma$ είναι διπλά παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και τέτοια ώστε

$\displaystyle{\left ( \kappa + \lambda \right ) \Sigma(x) \leq \kappa \Sigma (\alpha) + \lambda \Sigma (\beta) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

Να αποδειχθεί ότι:

$\Sigma(\alpha) = \Sigma(\beta)$ .

$\Sigma'(\alpha) = \Sigma'(\beta)$ .

υπάρχει $\xi \in (\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε $\Sigma''(\xi) =0$ .

α) Για

παίρνουμε $\lambda \Sigma (a) \le \lambda \Sigma (b)$ , οπότε $\Sigma (a) \le \Sigma (b)$ . Όμοια $\Sigma (b) \le \Sigma (a)$ , από όπου έπεται το πρώτο ζητούμενο.

β) (Με βελτίωση του ζητούμενου). Με χρήση του α) η αρχική γράφεται $( \kappa + \lambda ) \Sigma(x) \leq (\kappa + \lambda ) \Sigma (a)$ , άρα για κάθε

είναι $\Sigma(x) \le \Sigma(a)$ . Άρα $\Sigma(a)$ ολικό μέγιστο, οπότε $\Sigma ' (a) =0$ . Όμοια $\Sigma ' (b) =0$ , οπότε $\Sigma ' (a) =\Sigma ' (b) =0$ .

γ) Άμεσο από το β) με Rolle.

Επί του διαφορικού

Επί του διαφορικού

Re: Επί του διαφορικού

Μέλη σε σύνδεση