Η πάλη των τάξεων

KARKAR · #1

: Η πάλη των τάξεων.png (12.21 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές

$\bigstar$ Στις πλευρές CB , CA

, τριγώνου ABC

, θεωρούμε σημεία M , N

αντίστοιχα και προεκτείνουμε

την

, έως ότου τμήσει την προέκταση της

, στο σημείο

. Θέλουμε να είναι : SA=AB

.

Τάξη : Αν το

είναι το μέσο της BC=a

, πως πρέπει να επιλέξουμε το

;

Τάξη : Αν $CM=\lambda a \:\:,\:\: 0<\lambda<1$ , πως πρέπει να επιλέξουμε το

;

StamatisGoudis · #2

Καλημέρα σας
Το Θ. Μενελάου στο $\Delta ABC$ , με διατέμνουσα MNS δίνει: $\frac{MC}{MB}\cdot\frac{SB}{SA}\cdot\frac{NA}{NC}=1 (1)$

’ Τάξη: $MC=MB \overset{(1)}{\Rightarrow} \frac{SB}{SA}\cdot\frac{NA}{NC}=1 \Rightarrow \frac{NA}{NC}=\frac{SA}{SB} \Rightarrow \frac{NA}{NC}=\frac{1}{2} \Rightarrow NA=\frac{AC}{3}$ ,
έτσι προσδιορίζεται η θέση του

’ Τάξη: $CM=\lambda a \Rightarrow BM=(1-\lambda)a \Rightarrow \frac{CM}{BM}=\frac{\lambda}{1-\lambda}$
Ομοίως με την προηγούμενη περίπτωση προκύπτει μέσω της (1)

: $\frac{NA}{NC}=\frac{1-\lambda}{\lambda}\cdot\frac{SA}{SB} \Rightarrow \frac{NA}{NC}=\frac{1-\lambda}{2\lambda}$ , οπότε και πάλι προσδιορίζεται η θέση του

KARKAR · #3

Σταμάτη , για το πρόβλημα της Α' , η απάντηση είναι μεν σωστή , όμως λύθηκε με ύλη της Β' .

Επιδιώκουμε λύση με ύλη της Α' , αλλιώς δεν θα είχε λόγο ύπαρξης το πρώτο ερώτημα ...

Manolis Petrakis · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 25, 2021 6:26 pm
Σταμάτη , για το πρόβλημα της Α' , η απάντηση είναι μεν σωστή , όμως λύθηκε με ύλη της Β' .

Επιδιώκουμε λύση με ύλη της Α' , αλλιώς δεν θα είχε λόγο ύπαρξης το πρώτο ερώτημα ...

Για το α ερώτημα με ύλη της Α':
Το

είναι μέσο της

και το

μέσο της

άρα το

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου SBC

.
Επομένως $NA=\dfrac{AC}{3}$ απο την ιδιότητα του βαρυκέντρου.

StamatisGoudis · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 25, 2021 6:26 pm
Σταμάτη , για το πρόβλημα της Α' , η απάντηση είναι μεν σωστή , όμως λύθηκε με ύλη της Β' .

Επιδιώκουμε λύση με ύλη της Α' , αλλιώς δεν θα είχε λόγο ύπαρξης το πρώτο ερώτημα ...

Έχετε δίκιο. Η αλήθεια είναι ότι βιάστηκα να απαντήσω και παρεξήγησα το νόημα της άσκησης. Βέβαια, το Θ. Μενελάου δεν κατατάσσεται σε καμία ύλη από όσο γνωρίζω (τουλάχιστον δεν διδάσκεται), παρότι θα μπορούσε θεωρητικά να γίνει κατανοητό από έναν μαθητή Γ' Γυμνασίου που γνωρίζει το Θ. Θαλή.

#6

Για την Α' Τάξη:

: Πάλη των τάξεων.α.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

Φέρνω

και έστω

τα μέσα των NM, NC

αντίστοιχα. Είναι $\displaystyle AT = \frac{a}{4} = KL,$ άρα το

ATLK

είναι παραλληλόγραμμο, οπότε $\displaystyle AN = NL = LC \Leftrightarrow$ $\boxed{AN = \frac{{AC}}{3}}$

Για τη Β' Τάξη:

: Πάλη των τάξεων.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Φέρνω

και είναι $\displaystyle AT = \frac{{a(1 - \lambda )}}{2}.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AT}}{{MC}} = \frac{{a(1 - \lambda )}}{{2\lambda a}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{1 - \lambda }}{{2\lambda }}}$

Η πάλη των τάξεων

Η πάλη των τάξεων

Re: Η πάλη των τάξεων

Re: Η πάλη των τάξεων

Re: Η πάλη των τάξεων

Re: Η πάλη των τάξεων

Re: Η πάλη των τάξεων

Μέλη σε σύνδεση